1.2　配套考研真題解析

一、證明題

1．證明：定義在對稱區間（－1，1）內的任何函數f（x），必可以表示成偶函數H（x）與奇函數G（x）之和的形式，且這種表示法是唯一的．[合肥工業大學研]

證：令，則f（x）＝H（x）＋G（x），且H（x）是偶函數，G（x）是奇函數．

下證唯一性．

若還存在偶函數H₁（x）和奇函數G₁（x）有f（x）＝H₁（x）＋G₁（x），則

H（x）―H₁（x）＝G₁（x）―G（x）　  （1-1）

用―x代入式（1-1）中

H（x）―H₁（x）＝G（x）―G₁（x）　  （1-2）

由式（1-1）＋式（1-2）可得

H（x）＝H₁（x）

再代入式（1-1）可得

G（x）＝G₁（x）

故唯一性得證．

2．設函數f（x）定義在區間x上，如果對于任何x₁，x₂∈I及λ∈（0，1）．恒有

f[λx₁＋（1－λ）x₂]≤λf（x₁）＋（1－λ）f（x₂）

證明：在區間x的任何閉子區間上f（x）有界．[華中師范大學研]

證：，則存在λ∈（0，1），使

則

　 （1-3）

其中，則

所以

  （1-4）

由式（1-3），式（1-4）可知．再由M的定義，可知

若令

此即證f（x）在[a，b]上有界．

二、計算題

1．設，求f[f(x)]．[同濟大學研]

解：當x≥0時，f[f（x）]＝f（1）＝1；

當－1≤x＜0時，f[f（x）]＝f（1＋x）＝1；

當x＜－1時，f[f（x）]＝f（1＋x）＝x＋2．

所以．

2．設求：

（1）f（x）的定義域；

（2）；

（3）．[西北工業大學研]

解：（1）

∴f（x）的定義域為（－∞，＋∞）．

（2）

所以．

（3）

不存在．