第2章　數列極限[視頻講解]

2.1　本章要點詳解

本章要點

■數列極限的定義

■數列極限的性質

■數列極限的四則運算

■數列極限存在的條件

■柯西收斂準則

重難點導學

視頻二維碼（掃碼觀看）

一、數列極限

1．相關定義

（1）數列極限

設{a_n}為數列，a為定數，若對任給的正數ε，總存在正整數N，使得當n＞N時，有

|a_n－a|＜ε

則稱數列{a_n}收斂于a．定數a稱為數列{a_n}的極限，并記作

讀作“當n趨于無窮大時，{a_n}的極限等于a或a_n趨于a”，若數列{a_n}沒有極限，則稱{a_n}不收斂，或稱{a_n}為發散數列．

（2）無窮小數列

若，則稱{a_n}為無窮小數列．

（3）無窮大數列

若數列{a_n}滿足：對任意正數M＞0，總存在正整數N，使得當n＞N時有

則稱數列{a_n}發散于無窮大，并記作

注：若，則稱{a_n}是一個無窮大數列或無窮大量．

（4）若數列{a_n}滿足：對任意正數M＞0，存在正整數N，使得當n＞N時有

則稱數列{a_n}發散于正（負）無窮大，并記為

2．重要定理

數列{a_n}收斂于a的充要條件是：{a_n－a}為無窮小數列．

視頻二維碼（掃碼觀看）

二、收斂數列的性質

1．性質

（1）唯一性

若數列{a_n}收斂，則它只有一個極限．

（2）有界性

若數列{a_n}收斂，則{a_n}為有界數列，即存在正數M，使得對一切正整數n有

注：有界性只是數列收斂的必要條件，而非充分條件．

（3）保號性

若，則對任何存在正數N，使得當n＞N時有

a_n＞a′（或a_n＜a′）

推論：設，則存在N，使得當n＞N時有

a_n＜b_n

（4）保不等式性

設{a_n}與{b_n}均為收斂數列，若存在正數N₀，使得當n＞N₀時有a_n≤b_n，則

（5）迫斂性

設收斂數列{a_n}，{b_n}都以a為極限，數列{c_n}滿足：存在正數N₀，當n＞N₀時有

則數列{c_n}收斂，且．

2．四則運算法則

若{a_n}與{b_n}為收斂數列，則也都是收斂數列，且有

特別當b_n為常數c時有

若再假設b_n≠0及則也是收斂數列，且有

3．定理

數列{a_n}收斂的充要條件是：{a_n}的任何子列都收斂．

視頻二維碼（掃碼觀看）

三、數列極限存在的條件

1．單調有界定理（充分條件）

在實數系中，有界的單調數列必有極限．

2．致密性定理

任何有界數列必定有收斂的子列．

3．柯西收斂準則

數列{a_n}收斂的充要條件是：對任給的ε＞0，存在正整數N,使得當n，m＞N時有