第1章　實數(shù)集與函數(shù)[視頻講解]

1.1　本章要點詳解

本章要點

■實數(shù)

■數(shù)集?確界原理

■函數(shù)的概念

■復合函數(shù)與反函數(shù)

重難點導學

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一、實數(shù)

1．實數(shù)的表示

若規(guī)定：則有限十進小數(shù)都能表示成無限循環(huán)小數(shù)．

2．兩個實數(shù)的大小關(guān)系

給定兩個非負實數(shù)

其中a₀，b₀為非負整數(shù)，a_k，b_k（k＝1，2…）為整數(shù)，0≤a_k≤9，0≤b_k≤9．若有

則稱x與y相等，記為x＝y(tǒng)；若a₀＞b₀或存在非負整數(shù)l，使得

則稱x大于y或y小于x．分別記為x＞y或y＜x．

對于負實數(shù)x，y，若按上述規(guī)定分別有－x＝－y與－x＞－y，則分別稱x＝y(tǒng)與x＜y（或y＞x）．另外，自然規(guī)定任何非負實數(shù)大于任何負實數(shù)．

3．實數(shù)的性質(zhì)

（1）實數(shù)集R對加、減、乘、除（除數(shù)不為0）四則運算是封閉的，即任意兩個實數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)不為0）仍然是實數(shù)．

（2）實數(shù)集是有序的，即任意兩實數(shù)a，b必滿足下述三個關(guān)系之一：a＜b，a＝b，a＞b．

（3）實數(shù)的大小關(guān)系具有傳遞性，即若a＞b，b＞c，則有a＞c．

（4）實數(shù)具有阿基米德性，即對任何a，b∈R，若b＞a＞0，則存在正整數(shù)n，使得na＞b．

（5）實數(shù)集R具有稠密性，即任何兩個不相等的實數(shù)之間必有另一個實數(shù)．且既有有理數(shù)，也有無理數(shù)．

（6）實數(shù)集R與數(shù)軸上的點有著一一對應(yīng)關(guān)系．任一實數(shù)都對應(yīng)數(shù)軸上唯一的一點；反之，數(shù)軸上的每一點都唯一地代表一個實數(shù)．

4．絕對值與不等式

（1）絕對值

①定義

②性質(zhì)

a．|a|＝|－a|≥0；當且僅當a＝0時有|a|＝0；

b．－|a|≤a≤|a|；

c．|a|＜h?－h(huán)＜a＜h；|a|≤h?－h(huán)≤a≤h（h＞0）；

d．三角形不等式：；

f．；

g．．

（2）幾個重要不等式

①，，；

②均值不等式：，令

有平均值不等式

等號當且僅當時成立．

③Bernoulli不等式

，有不等式，且當時，．

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二、數(shù)集?確界原理

1．區(qū)間與鄰域

（1）區(qū)間

設(shè)a,b∈R，且a＜b．稱數(shù)集{x|a＜x＜b}為開區(qū)間，記作（a，b）；數(shù)集{x|a≤x≤b}稱為閉區(qū)間，記作[a，b]；數(shù)集{x|a≤x＜b}和{x|a＜x≤b}都為半開半閉區(qū)間，分別記作[a，b）和（a，b]，以上這幾類區(qū)間統(tǒng)稱為有限區(qū)間．

滿足關(guān)系式x≥a的全體實數(shù)x的集合記作[a，＋∞）．符號∞讀作“無窮大”，＋∞讀作“正無窮大”．記

其中－∞讀作“負無窮大”．以上這幾類數(shù)集都稱為無限區(qū)間．有限區(qū)間和無限區(qū)間統(tǒng)稱為區(qū)間．

（2）鄰域

設(shè)a∈R，δ＞0，滿足絕對值不等式|x－a|＜δ的全體實數(shù)x的集合稱為點a的δ鄰域，記作U（a，δ），或簡單地寫作U（a）．即有

U（a；δ）＝{x||x－a|＜δ}＝（a－δ，a＋δ）

點a的空心δ鄰域定義為

U⁰（a；δ）＝{x|0＜|x－a|＜δ}

2．上確界與下確界

（1）相關(guān)概念

①設(shè)S是R中的一個數(shù)集．若存在數(shù)M（L），使得對一切x∈S，都有x≤M（x≥L），則稱S為有上界（下界）的數(shù)集，數(shù)M（L）稱為S的個上界（下界）．

若數(shù)集S既有上界又有下界，則稱S為有界集．若S不是有界集，則稱S為無界集．

②設(shè)S是R中的一個數(shù)集．若數(shù)η滿足

a．對一切x∈S，有x≤η，即η是S的上界；

b．對任何α＜η，存在x₀∈S，使得x₀＞α，即又是S的最小上界．

則稱數(shù)η為數(shù)集S的上確界，記作

η＝supS

③設(shè)S是R中的一個數(shù)集．若數(shù)ξ滿足

a．對一切x∈S，有x≥ξ，即ξ是S的下界；

b．對任何β＞ξ，存在x₀∈S，使得x₀＜β，即ξ又是S的最大下界．

則稱數(shù)ξ為數(shù)集S的下確界，記作

ξ＝infS

④上確界與下確界統(tǒng)稱為確界．

（2）重要定理

①確界原理：設(shè)S為非空數(shù)集．若S有上界，則S必有上確界；若S有下界,則S必有下確界；

②推廣的確界原理：任一非空數(shù)集必有上、下確界．

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三、函數(shù)的概念

1．函數(shù)的定義

給定兩個實數(shù)集D和M，若有對應(yīng)法則f，使對D內(nèi)每一個數(shù)x，都有唯一的一個數(shù)y∈M與它相對應(yīng)，則稱f是定義在數(shù)集D上的函數(shù)，記作

數(shù)集D稱為函數(shù)f的定義域，x所對應(yīng)的數(shù)y稱為f在點x的函數(shù)值，常記為f（x）．

2．函數(shù)的表示法

主要有三種：表格法、圖像法、解析法（公式法）．

3．幾個特殊的函數(shù)

（1）常值函數(shù)

y=c

其定義域為D=(－￥，＋￥),其值域為R_f={c}．

（2）絕對值函數(shù)

其定義域為D＝(－￥,＋￥),其值域為R_f=[0,＋￥)．

（3）符號函數(shù)

其定義域為D＝(－￥，＋￥),其值域為R_f={－1，0，1}．

（4）取整函數(shù)：y=[x]，[x]表示不超過x的最大整數(shù)；

（5）“非負小數(shù)部分”函數(shù)

，

它的定義域是，值域是．

（6）狄利克雷函數(shù)

其定義域為D＝(－￥，＋￥)，其值域為={0，1}．

（7）取最值函數(shù)

,

（8）Riemann 函數(shù)

4．函數(shù)的性質(zhì)

（1）有界性

①設(shè)f為定義在D上的函數(shù)，若存在數(shù)M（L），使得對每一個x∈D有

則稱f為D上的有上（下）界函數(shù)．M（L）稱為f在D上的一個上（下）界；

②設(shè)f為定義在D上的函數(shù)，若存在正數(shù)M，使得對每一個x∈D有

則稱f為D上的有界函數(shù)．

（2）單調(diào)性

設(shè)f為定義在D上的函數(shù)，若對任何x₁，x₂∈D．當x₁＜x₂時，總有

①f（x₁）≤f（x₂），則稱f為D上的增函數(shù)．特別當成立嚴格不等式f（x₁）＜f（x₂）時，稱f為D上的嚴格增函數(shù)；

②f（x₁）≥f（x₂），則稱f為D上的減函數(shù)．特別當成立嚴格不等式f（x₁）＞f（x₂）時，稱f為D上的嚴格減函數(shù)．

（3）奇偶性

設(shè)D為對稱于原點的數(shù)集，f為定義在D上的函數(shù)，若對每一個x∈D有

f（－x）＝－f（x）（f（－x）＝f（x））

則稱f為D上的奇（偶）函數(shù)．

（4）周期性

設(shè)f為定義在數(shù)集D上的函數(shù)，若存在σ＞0，使得對一切x∈D，x±σ∈D，有f（x±σ）＝f（x），則稱為周期函數(shù)，σ稱為f的一個周期．若σ為f的周期，則nσ（n為正整數(shù)）也是f的周期．若在周期函數(shù)f的所有周期中有一個最小的周期，則稱此最小周期為f的基本周期，或簡稱周期．

5．函數(shù)的四則運算

給定兩個函數(shù)，和g，，記，并設(shè)，定義f與g在D上的和、差、積運算如下

F（x）＝f（x）＋g（x），x∈D

G（x）＝f（x）－g（x），x∈D

H（x）＝f（x）g（x），x∈D

若在D中剔除使g（x）＝0的x值，即令

可在D^*上定義f與g的商的運算如下

注：若，則f與g不能進行四則運算．以后為敘述方便，函數(shù)f與g的和、差、積、商常分別寫作

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四、復合函數(shù)與反函數(shù)

1．復合函數(shù)

設(shè)有兩函數(shù)

　 （1-1）

記E^*＝{x|g（x）∈D}∩E．若，則對每一個x∈E^*，可通過函數(shù)g對應(yīng)D內(nèi)唯一的一個值u，而u又通過函數(shù)f對應(yīng)唯一的一個值y，這就確定了一個定義在E^*上的函數(shù)，它以x為自變量，y為因變量，記作

稱為函數(shù)f和g的復合函數(shù)，并稱f為外函數(shù)，g為內(nèi)函數(shù)，式（1-1）中的u為中間變量．函數(shù)f和g的復合運算也可簡單地寫作．

2．反函數(shù)

設(shè)函數(shù)

y＝f（x），x∈D

滿足：對于值域f（D）中的每一個值y，D中有且只有一個值x，使得

f（x）＝y(tǒng)

則按此對應(yīng)法則得到的函數(shù)稱為反函數(shù)，它是一個定義在f（D）上的函數(shù)，記作

或

x＝f^－1（y），y∈f（D）

3．初等函數(shù)

（1）基本初等函數(shù)

①常量函數(shù)y＝c（c是常數(shù)）；

②冪函數(shù)y＝x^α（α為實數(shù)）；

③指數(shù)函數(shù)y＝a^x（a＞0，a≠1）；

④對數(shù)函數(shù)y＝log_ax（a＞0，a≠1）；

⑤三角函數(shù)y＝sinx（正弦函數(shù)），y＝cosx（余弦函數(shù)），y＝tanx（正切函數(shù)），y＝cotx（余切函數(shù)）；

⑥反三角函數(shù)y＝arcsinx，（反正弦函數(shù)），y＝arccosx（反余弦函數(shù)），y＝arctanx（反正切函數(shù)），y＝arccotx（反余切函數(shù)）．

（2）初等函數(shù)

由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算與復合運算所得到的函數(shù)，稱為初等函數(shù)．