5.2　配套考研真題解析

　 一、選擇題

設f（u）與φ（t）均可微，，則（　　）是不正確的．[南京航空航天大學2004研]

A． 

B．

C． 　

D．

【答案】B

【解析】根據復合函數一階微分不變性，．

二、證明題

1．設f（x）在[－1，1]上有二階連續偏導數，f（0）＝0，令，，證明

（1）g（x）在x＝0處連續且可導，并計算g＇（0）；

（2）g＇（0）在x＝0處也連續．[華東師范大學2006研]

證：（1）由于

并由洛必達法則知

所以g（x）在x＝0處連續且可導，．

（2）由于

所以，由洛必達法則知

故g＇（x）在x＝0處也連續．

2．設函數f（x）在（－∞，＋∞）上二次連續可微，且滿足|f（x）|≤M（M為正數）．證明：存在，使得．[山東科技大學2006研]

證：反證法．

假設對任意的x∈（－∞，＋∞）都有，由于導數具有介值性，所以恒正或恒負，不妨設，于是f＇（x）嚴格遞增．取x₀，使，若，則當，并令x→＋∞時

若，則當，并令x→－∞時

與f（x）的有界性矛盾，得證．

三、計算題

1．設y＝y（x）為可微函數，其中

（5-1）

求．[浙江大學2001研]

解：將已知等式兩邊對x求導得

（5-2）

將x＝0代人式（5-1）可解得y（0）＝0，再將x＝0代人式（5-2）得

2．設f"（u）存在，[中國地質大學2002研]

解：由y＝f（x＋y），令u＝x＋y．則

  （5-3）

即

由式（5-3），兩邊再對x求導，有

　 （5-4）

由式（5-4）解得