第5章　導數(shù)和微分[視頻講解]

5.1　本章要點詳解

本章要點

■導數(shù)的定義

■求導法則

■參變量函數(shù)的導數(shù)

■萊布尼茨公式

■微分的定義

重難點導學

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一、導數(shù)的概念

1．相關定義

（1）設函數(shù)y＝f（x）在點x₀的某鄰域內有定義，若極限

　  （5-1）

存在，則稱函數(shù)f在點x₀處可導，并稱該極限為函數(shù)f在點x₀處的導數(shù)，記作．

令x＝x₀＋Δx，Δy＝f（x₀＋Δx）－f（x₀），則式（5-1）可改寫為

（2）設函數(shù)y＝f（x）在點x₀的某右鄰域[x₀，x₀＋δ）上有定義，若右極限

存在，則稱該極限值為f在點x₀的右導數(shù)，記作．

類似地，定義左導數(shù)為

右導數(shù)和左導數(shù)統(tǒng)稱為單側導數(shù)．

（3）若函數(shù)在區(qū)間I上每一點都可導（對區(qū)間端點，僅考慮單側導數(shù)），則稱f為I上的可導函數(shù)。對每個x∈I，都有f的一個導數(shù)（或單側導數(shù)）與之對應，稱為f在于I上的導函數(shù)，也簡稱為導數(shù)，記作．

（4）若函數(shù)f在點x₀的某鄰域U（x₀）上對一切x∈U（x₀）有

則稱函數(shù)f在點x₀取得極大（?。┲担Q點x₀為極大（小）值點．極大值、極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點．

2．重要定理

（1）若函數(shù)在點可導，則在點連續(xù)．

（2）若函數(shù)在點的某鄰域上有定義，則存在的充要條件是與都存在，且

＝

（3）費馬定理

設函數(shù)在點的某鄰域上有定義，且在點可導，若點為的極值點，則必有

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二、求導法則

1．導數(shù)的四則運算

（1）若函數(shù)u（x）和ν（x）在點x₀可導，則函數(shù)f（x）＝u（x）±ν（x）在點x₀也可導，且

（2）若函數(shù)u（x）和ν（x）在點x₀可導，則函數(shù)f（x）＝u（x）ν（x）在點x₀也可導，且

（3）若函數(shù)ν（x）在點x₀可導，c為常數(shù)，則

（4）若函數(shù)u（x）和ν（x）在點x₀都可導，且ν（x₀）≠0，則在點x₀也可導，且

2．反函數(shù)的導數(shù)

設為的反函數(shù)，若在點某鄰域上連續(xù)，嚴格單調且（）≠0，則在點（＝）可導，且

3．復合函數(shù)的導數(shù)

（1）f（x）在點x₀可導的充要條件是：在x₀的某鄰域U（x₀）上，存在一個在點x₀連續(xù)的函數(shù)H（x），使得

從而．

（2）設u＝φ（x）在點x₀可導，y＝f（u）在點u₀＝φ（x₀）可導，則復合函數(shù)在點x₀可導，且

4．基本求導法則與公式

（1）基本求導法則

①．

②（c為常數(shù)）．

③．

④反函數(shù)導數(shù)．

⑤復合函數(shù)導數(shù)．

（2）基本初等函數(shù)導數(shù)公式

①（c為常數(shù)）．

②（c為任意實數(shù)）．

③

④

⑤

⑥．

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三、參變量函數(shù)的導數(shù)

平面曲線C一般的表達形式是由參變量（參量）方程

表示，設t＝t₀對應曲線C上的點P．設φ，ψ在點t₀可導，且若對應C上的點Q（如圖5-1所示），割線PQ的斜率為

曲線C在點P的切線斜率是

圖5-1

其中α為切線與x軸正向的夾角．

若φ，ψ在[α，β]上都存在連續(xù)的導函數(shù)，且，這時稱C為光滑曲線．其特點是在曲線C上不僅每一點都有切線,且切線與x軸正向的夾角α（t）是t的連續(xù)函數(shù)．

若具有反函數(shù)，那么它與構成一個復合函數(shù)

這時只要函數(shù)φ，ψ可導，（因而當Δx→0時，也有Δt→0和Δy→0），可由復合函數(shù)和反函數(shù)的求導法則得到

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四、高階導數(shù)

1．定義

若函數(shù)的導函數(shù)在點可導，則稱在點的導數(shù)為在點的二階導數(shù)，記作（），即

稱在點x₀為二階可導．

若f在區(qū)間I上每一點都二階可導,則得到一個定義在I上的二階導函數(shù)，記作f "（x），x∈I，或者簡單記為f"．

一般地，可由f的n－1階導函數(shù)定義f的n階導函數(shù)（簡稱n階導數(shù)）．

2．常見三角函數(shù)n階導數(shù)公式

3．萊布尼茨公式

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五、微分

1．微分概念

（1）定義

設函數(shù)y＝f（x）定義在點x₀的某鄰域U（x₀）上，當給x₀一個增量Δx，x₀＋Δx∈U（x₀）時，相應地得到函數(shù)的增量為

如果存在常數(shù)A，使得Δy能表示成

   （5-2）

則稱函數(shù)f在點x₀可微，并稱式（5-2）中的第一項AΔx為f在點x₀的微分，記作

（2）定理

函數(shù)f在點x可微的充要條件是函數(shù)f在點x₀可導，而且（5-2）式中的A等于f＇（x₀）．

2．微分的運算法則

3．高階微分

函數(shù)y＝f（x）的一階微分是

其中變量x和dx是相互獨立的．現(xiàn)將一階微分只作為x的函數(shù)，若f二階可導，則dy對自變量x的微分為

或寫作

稱它為函數(shù)f的二階微分．

一般地，n階微分是n－1階微分的微分，記作，則