第6章　微分中值定理及其應用[視頻講解]

6.1　本章要點詳解

本章要點

■羅爾定理

■拉格朗日定理

■柯西中值定理

■不定式極限

■泰勒公式

■極值的判別

■函數的凸性與拐點的判定

重難點導學

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一、拉格朗日定理和函數的單調性

1．羅爾定理與拉格朗日定理

（1）羅爾中值定理

若函數f滿足如下條件

①f在閉區間[a，b]上連續；

②f在開區間（a，b）可導；

③f（a）＝f（b），

則在（a，b）上至少存在一點ξ，使得

  注：羅爾定理的幾何意義：在每一點都可導的一段連續曲線上，如果曲線的兩端點高度相等，則至少在一條水平切線．

（2）拉格朗日中值定理

若函數f滿足如下條件

①f在閉區間[a，b]上連續；

②f在開區間（a，b）上可導，

則在（a，b）上至少存在一點ξ，使得

（3）推論

①若函數f在區間I上可導，且f′（x）≡0，x∈I，則f為I上的一個常量函數．

②若函數f和g均在區間I上可導，且f′（x）≡g′（x），x∈I，則在區間I上f（x）與g（x）只相差某一常數，即

f（x）＝g（x）＋c（c為某一常數）

③導數極限定理：設函數f在點x₀的某一領域U（x₀）上連續，在內可導，且極限存在，則f在點x₀可導，且

2．單調函數

（1）定理

①設f（x）在區間I上可導，則f（x）在I上遞增（減）的充要條件是

f′（x）≥0（≤0）

②若函數在（a,b）上可導，則f在（a，b）上嚴格遞增（遞減）的充要條件是：對一切x∈（a，b），有f′（x）≥0（f′（x）≤0）；在（a，b）的任何子區間上．

（2）推論

設函數在區間I上可微，若f′（x）＞0（f′（x）＜0），則f在I上嚴格遞增（嚴格遞減）．

（3）達布定理

若函數f在[a，b]上可導，且f′_＋（a）≠f′_－（b），k為介于f′_＋（a），f′_－（b）之間的任一實數，則至少存在一點ξ∈（a，b），使得

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二、柯西中值定理和不定式極限

1．柯西中值定理

設函數f和g滿足

（1）在[a，b]上都連續；

（2）在（a，b）上都可導；

（3）f′（x）和g′（x）不同時為零；

（4）g（a）≠g（b），

則存在ξ∈（a，b），使得

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2．不定式極限

（1）型不定式極限

若函數f和g滿足

①；

②在點x₀的某空心鄰域上兩者都可導，且；

③（A可為實數，也可為±∞，∞）；

則．

（2）型不定式極限

若函數f和g滿足

①在x₀的某鄰域上兩者可導，且；

②；

③（A可為實數，也可為±∞，∞）；

則．

（3）其他類型不定式極限

不定式極限還有等類型經過簡單變換，它們一般均可化為型或型的極限．

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三、泰勒公式

稱為函數f在點x₀處的泰勒多項式，T_n（x）的各項系數（k＝1，2，…，n）稱為泰勒系數．

1．帶有佩亞諾型余項的泰勒公式

（1）定理

若函數f在點x₀存在直至n階導數，則有f（x）＝T_n（x）＋（（x－x₀）ⁿ），即 （6-1）

式（6-1）稱為函數f在x₀處的泰勒公式，R_n（x）＝f（x）－T_n（x）稱為泰勒公式的余項，形如的余項稱為佩亞諾型余項，所以式（6-1）又稱帶有佩亞諾型余項的泰勒公式．

（2）麥克勞林公式

麥克勞林公式是泰勒公式（6-1）在x₀＝0時的特殊形式

　 （3）常用的麥克勞林公式

2．帶有拉格朗日型余項的泰勒公式

（1）泰勒定理

若函數f在[a，b]上存在直至n階的連續導函數，在（a，b）上存在（n＋1）階導函數，則對任意給定的x，x₀∈[a，b]，至少存在一點ξ∈（a，b），使得

  （6-2）

（2）拉格朗日型余項

式（6-2）稱為泰勒公式，它的余項為

稱為拉格朗日型余項，所以式（6-2）又稱帶有拉格朗日型余項的泰勒公式．

（3）n＝0時，泰勒公式（6-2）在x＝0時的特殊形式為

稱為（帶有拉格朗日余項的）麥克勞林公式．

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四、函數的極值與最大（小）值

1．極值判別

（1）極值的第一充分條件

設f在點x₀連續，在某鄰域U⁰（x₀；δ）上可導

①若當時f′（x）≤0；當時，f′（x）≥0，則f在點x₀取得極小值．

②若當，時f′（x）≥0；當時，f′（x）≤0，則f在點x₀取得極大值．

（2）極值的第二充分條件

設f在x₀的某鄰域U（x₀;δ）上一階可導，在x＝x₀處二階可導,且

①若f"（x₀）＜0，則f在x₀取得極大值；

②若f"（x₀）＞0，則f在x₀取得極小值．

（3）極值的第三充分條件

設f在x₀的某鄰域內存在直到n－1階導函數，在x₀處n階可導，且

①當n為偶數時，f在x₀取得極值，且當時，取極大值．時，取極小值．

②當n為奇數時，f在x₀不取極值．

2．最大值與最小值

（1）由連續函數在[a，b]上的性質，若函數f在閉區間[a，b]上連續，則f在[a，b]上一定有最大、最小值．

（2）若函數f的最大（小）值x₀在開區間（a，b）上，則x₀必定是f的極大（小）值點，又若f在x₀處可導，則x₀還是一個穩定點，所以只要比較f在所有穩定點、不可導點和區間端點上的函數值，就能從中找到f在[a，b]上的最大值與最小值．

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五、函數的凸性與拐點

1．相關定義

（1）凹凸函數

設f為定義在區間I上的函數，若對I上的任意兩點，和任意實數λ∈（0，1）總有

則稱f為I上的凸函數．反之，如果總有

則稱f為I上的凹函數．

（2）拐點

設曲線y＝f（x）在點（x₀、f（x₀）處有穿過曲線的切線，且在切點近旁，曲線在切線的兩側分別是嚴格凸和嚴格凹的,這時稱點（x₀、f（x₀））為曲線y＝f（x）的拐點．

2．重要定理

（1）f為I上的凸函數的充要條件是：對于I上的任意三點，總有

（2）設f為區間I上的可導函數，則下述論斷互相等價

①f為I上凸函數．

②f′為I上的增函數．

③對I上的任意兩點有

（3）設f為區間I上的二階可導函數，則在I上，為凸（凹）函數的充要條件是

（4）若f在x₀二階可導,則（x₀，f（x₀））為曲線y＝f（x）的拐點的必要條件是f″（x₀）＝0．

（5）設f在x₀可導，在某鄰域U″（x₀）上二階可導．若在和上f″（x）的符號相反，則（x₀，f（x₀））為曲線y＝f（x）的拐點．

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六、函數圖像的討論

作函數圖像的一般步驟：

（1）求函數的定義域；

（2）考察函數的奇偶性、周期性；

（3）求函數的某些特殊點，如與兩個坐標軸的交點、不連續點、不可導點等；

（4）確定函數的單周區間，極值點，凸性區間以及拐點；

（5）考察漸近線；

（6）綜合以上討論結果畫出函數圖像．