第4章　函數的連續性[視頻講解]

4.1　本章要點詳解

本章要點

■連續性的定義

■間斷點的分類

■連續函數的性質

■一致連續性的定義

■一致連續性定理

重難點導學

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一、連續性概念

1．函數在一點的連續性

（1）定義

①設函數f在某U（x₀）上有定義，若

則稱f在點x₀連續．

　 用方式敘述，即：若對任給的，存在，使得當，有

則稱f在點x₀連續．

②設函數f在某內有定義，若

則稱f在點x₀右（左）連續．

（2）定理

函數f在點x₀連續的充要條件是：f在點x₀既是右連續，又是左連續．

2．間斷點及其分類

（1）定義

設函數f在某上有定義，若f在點x₀無定義，或f在點x₀有定義而不連續，則稱點x₀為函數f的間斷點或不連續點．

若x₀為函數f的間斷點，則必出現下列情形之一

①f在點x₀無定義或極限不存在．

②f在點x₀有定義且極限存在，但．

（2）分類

①可去間斷點

若，而f在點x₀無定義，或有定義但．則稱x₀為f的可去間斷點．

②跳躍間斷點

若函數f在點x₀的左、右極限都存在，但，則稱點x₀為函數f的跳躍間斷點．

可去間斷點和跳躍間斷點統稱為第一類間斷點，特點是函數在該點處的左、右極限都存在．

③第二類間斷點

函數的所有其他形式的間斷點，即使得函數至少有一側極限不存在的那些點．

3．區間上的連續函數

若函數f在區間I上的每一點都連續，則稱f為I上的連續函數．對于閉區間或半開半閉區間的端點，函數在這些點上連續是指左連續或右連續．

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二、連續函數的性質

1．連續函數的局部性質

（1）局部有界性

若函數f在點x₀連續，則f在某上有界．

（2）局部保號性

若函數f在點x₀連續，且f（x₀）＞0（或＜0），則對任何正數r＜f（x₀）（或r＜－f（x₀）），存在某使得對一切有

f（x）＞r（或f（x）＜－r）

（3）四則運算

若函數f和g在點x₀連續，則f±g，，（g（x₀）≠0）也都在點x₀連續．

（4）復合函數的連續性

若函數f在點x₀連續，g在點u₀連續，u₀＝f（x₀），則復合函數gοf在點x₀連續．

2．閉區間上連續函數的基本性質

（1）定義

設f為定義在數集D上的函數，若存在x₀∈D，使得對一切x∈D有則稱f在D上有最大（最小）值，并稱f（x₀）為f在D上的最大（最小）值．

（2）最大、最小值定理

若函數f在閉區間[a，b]連續，則f在[a，b]上有最大值與最小值．

（3）有界性定理

若函數f（x）在閉區間[a，b]上連續，則f（x）在閉區間[a，b]上有界．

（4）介值性定理

設函數f在閉區間[a，b]上連續，且f（a）≠f（b）．若μ為介于f（a）與f（b）之間的任何實數（f（a）＜μ＜f（b）或f（a）＞μ＞f（b））則至少存在一點x₀∈（a，b），使得

f（x₀）＝μ

（5）根的存在定理

若函數f在閉區間[a，b]上連續，且f（a）與f（b）異號（即f（a）與f（b），則至少存在一點，使得

即方程f（x）＝0在（a，b）上至少有一個根．

3．反函數的連續性

若函數f在[a，b]上嚴格單調并連續，則反函數在其定義域或上連續．

4．一致連續性

（1）定義

設f為定義在區間I上的函數．若對任給的ε＞0，存在，使得對任何，只要，就有

則稱函數f在區間I上一致連續．

（2）一致連續性定理

若函數f在閉區間[a，b]上連續，則f在[a，b]上一致連續．

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三、初等函數的連續性

1．指數函數的連續性

（1）設a＞0，α，β為任意兩個實數，則有

（2）指數函數a^x（a＞0）在R上是連續的．

2．初等函數的連續性

（1）一切基本初等函數都是其定義域上的連續函數．

（2）任何初等函數都是在其定義區間上的連續函數．