4.2　配套考研真題解析

一、證明題

1．設(shè)f（x）為定義在上的函數(shù)，且，在區(qū)間（0，1）上定義函數(shù)．證明：函數(shù)g（x）右連續(xù)．[中北大學(xué)2005研]

證：對(duì)任意的，所以對(duì)任意的ε＞0，存在使得，．對(duì)任意的，由g（x）的定義知

，故．當(dāng)時(shí)，若t滿足，則，對(duì)t取下確界得

從而，則函數(shù)g（x）在區(qū)間上每一點(diǎn)都右連續(xù)．

2．證明：在[n，＋∞）（其中a＞0）上一致連續(xù)，在（0，1）上不一致連續(xù)．[中國(guó)科學(xué)院2001研]

證：對(duì)，取δ＝a²ε．當(dāng)時(shí)，

由一致連續(xù)的定義知在[a，＋∞）（a＞0）中一致連續(xù)．

在（0，1）內(nèi)取，取．

對(duì)任意δ＞0，只要n充分大總有

所以g（x）在（0，1）上不一致連續(xù)．

3．設(shè)f（x）是在區(qū)間[a，＋∞）上的有界連續(xù)函數(shù)，并且對(duì)任意實(shí)數(shù)c，方程f（x）＝c至多只有有限個(gè)解，證明：存在．[華東師范大學(xué)2005研]

證明：由于f（x）在區(qū)間[a，＋∞）上有界，所以數(shù)列{ f（n）}有界，由致密性定理知存在子列收斂，記．下證．

反證法．

假設(shè)，則存在及單調(diào)遞增數(shù)列，使得．由于是有界的，所以由致密性定理知存在子列收斂，并記．從而，不妨設(shè)B＞A．由極限的保號(hào)性知，存在K＞0，使得

于是由連續(xù)函數(shù)的介值性知有無(wú)限多個(gè)解，矛盾．

　 二、計(jì)算題

設(shè)函數(shù)

其中g(shù)（x）具有二階連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，且g（0）＝1．

（1）確定a的值，使f（x）在點(diǎn)x＝0連續(xù)；

（2）求；

（3）討論在點(diǎn)x＝0處的連續(xù)性．[哈爾濱工業(yè)大學(xué)研]

解：．

要使f（x）在x＝0處連續(xù)，則．

（2）當(dāng)x≠0時(shí)

當(dāng)x＝0時(shí)

在x＝0處連續(xù)．