第3章　隨機過程［視頻講解］

3.1　本章要點詳解

本章要點

■隨機過程的基本概念

■平穩隨機過程

■高斯隨機過程

■平穩隨機過程通過線性系統

■窄帶隨機過程

■正弦波加窄帶高斯噪聲

■高斯白噪聲和帶限白噪聲

重難點導學

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一、隨機過程的基本概念

設S_k(k＝1, 2, …)是隨機試驗。每一次試驗都有一條時間波形(稱為樣本函數)，記作x_i(t)，所有可能出現的結果的總體{x₁(t), x₂(t)，…, x_n(t)，…}構成一隨機過程，記作ξ(t)。假定有n個性能完全相同的接收機，每臺接收機的輸出信號就是一個樣本x_i(t)。無窮多個樣本函數的總體叫做隨機過程。

可以從兩個角度來說明：

（1）把隨機過程看成是所有樣本函數的集合；

（2）把隨機過程看作是在時間進程中處于不同時刻的隨機變量的集合。

1．隨機過程的分布函數和概率密度

（1）隨機過程的分布函數

隨機過程在任一時刻的取值是隨機變量，則隨機變量的取值小于等于某一數值的概率稱為一維概率分布函數，即

推廣到n維概率分布函數為

（2）隨機過程的概率密度函數

若分布函數的導數存在，則其導數即的一維概率密度函數

的n維概率密度函數為

2．隨機過程的數字特征

（1）均值（數學期望）

隨機過程的數學期望是時間t的函數，表示隨機過程在某時刻的擺動中心（平均值）。

（2）方差

隨機過程的方差也記為，表示隨機過程在某時刻的取值（隨機變量）對該時刻的期望的偏離程度。

（3）自相關函數和協方差

①隨機過程自相關函數為

表示隨機過程在兩個時刻的取值的關聯程度，變化越平緩，兩個時刻取值的相關性越大，R值越大。

②隨機過程協方差為

表示隨機過程在兩個時刻間的線性依從關系。

③隨機過程相關函數和協方差函數的關系為

常用協方差函數B(t_l，t₂)和自相關函數R(t_l，t₂)來衡量隨機過程任意兩個時刻上獲得的隨機變量的統計相關特性，即自相關函數和協方差函數是衡量同一過程的相關程度的。

（4）互相關函數

設和分別表示兩個隨機過程，則互相關函數為

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二、平穩隨機過程

1．狹義平穩（嚴平穩）

（1）定義

若一個隨機過程x(t)的任何n維分布函數或概率密度函數與時間起點無關，也就是說對于任意的正整數n和任意實數t₁，t₂，…t_n，隨機過程的n維概率密度函數滿足

則稱這個隨機過程是狹義平穩的(也稱嚴平穩)。

（2）性質

平穩隨機過程的統計特性不隨時間的推移而改變，即

①一維分布與無關：；

②二維分布只與有關：。

③嚴平穩的數字特征

由此可見，嚴平穩隨機過程的數字特征滿足：

a．其均值與t無關，為常數a；

b．自相關函數只與時間間隔t有關。

2．廣義平穩

若一個隨機過程的數學期望與時間無關，而其相關函數僅與時間間隔τ相關，稱這個隨機過程是廣義平穩的(也稱寬平穩)，即

狹義平穩一定是廣義平穩，反之不一定成立。

3．各態歷經性

許多平穩隨機過程的數字特征完全可由隨機過程中的任一實現（樣本）的數字特征來決定，即從隨機過程中得到的任一實現，可視為其經歷了隨機過程的所有可能狀態。通過這一性質，隨機過程的數學期望可以由任一實現的時間平均值來代替；隨機過程的各種統計平均（均值或自相關函數等）也可由“時間平均”代替“統計平均”。

若平穩隨機過程使下式成立

則稱該平穩隨機過程具有各態歷經性。具有各態歷經性的隨機過程一定是平穩過程，反之不一定。

4．平穩隨機過程的自相關函數

設為實平穩隨機過程，其自相關函數為

自相關函數的性質：

（1）— x(t)的平均功率；

（2）—t的偶函數；

（3）—R(t)的上界；

（4）—x(t)的直流功率；

（5）—x(t)的交流功率。

5．平穩隨機過程的功率譜密度

（1）定義

（2）維納-辛欽關系

平穩隨機過程的自相關函數和功率譜密度之間互為傅立葉變換關系，即維納-辛欽關系

它是聯系頻域和時域兩種分析方法的基本關系式。由此可知：

①當時，對PSD進行積分則可得到平穩過程的總功率：；

②各態歷經過程的任一樣本的PSD等于過程的PSD；

③PSD具有非負性和實偶性：，。

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三、高斯隨機過程

1．定義

如果隨機過程的任何n維(n＝1，2，...)分布函數均服從正態分布，則稱它為正態過程或高斯過程。

2．性質

（1）高斯過程的n維分布僅由各隨機變量的均值、方差和兩兩間的協方差函數決定。

（2）高斯過程若是寬平穩的，則它也是嚴平穩的。

（3）高斯過程不同時刻的取值若互不相關，則彼此獨立。

（4）高斯過程經過線性系統后仍是高斯過程。

3．高斯隨機變量

（1）定義

高斯過程在任一時刻上的取值是一個正態分布的隨機變量，也稱高斯隨機變量。

（2）一維正態分布的概率密度函數

①定義

其中，a為均值，σ為方差，如圖3-1所示。

圖3-1  正態分布的概率密度

②性質

a．f(x)對稱于x＝a,即f(x＋a)＝f(x－a)。

b．f(x)在(-∞,a)內單調上升，在(a,∞)內單調下降，且在a點處取得最大值，a變化f(x)左右平移，σ變化，f(x)高矮、寬窄變化。

c．。

標準正態分布：若a＝0，σ＝1，則稱這種正態分布為標準正態分布，此時

③用互補誤差函數erfc(x)表示正態分布函數

　 ④用Q函數表示正態分布函數

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四、平穩隨機過程通過線性系統

隨機過程通過線性系統，則輸出隨機過程等于輸入隨機過程與的卷積，即

圖3-2  隨機過程通過線性系統

若是平穩隨機過程，則有：

（1）均值

為線性系統的直流增益，。

（2）自相關函數

與時間起點無關，僅是時間間隔t的函數。若線性系統的輸入過程是平穩的，那么輸出過程也是平穩的。

（3）功率譜密度

當需求輸出過程的自相關函數時，可利用上式先求，然后求其傅里葉反變換，這比直接計算要簡單得多。

（4）概率分布

若是高斯型的，經過線性系統后的也是高斯型的（數字特征可能不同）。

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五、窄帶隨機過程

若隨機過程的功率譜密度集中在中心頻率附近相對窄的頻率范圍內，即滿足條件，且遠離零頻率，則稱為窄帶隨機過程。一個典型的窄帶隨機過程的頻譜密度和波形如圖3-3所示。

圖3-3  窄帶隨機過程的頻譜密度和波形示意圖

1．表示形式

窄帶隨機過程的表達式為

即可表示為

其中，a_x(t)為信號的包絡；為信號的相位；為窄帶信號的中心頻率（載頻），為同相分量；為正交分量。

窄帶隨機過程的包絡和相位以及同相分量和正交分量都是隨機緩慢變化的過程，均屬于低通型過程。

2．和的統計特性

若窄帶過程是均值為0的平穩隨機過程，則和是也平穩的，且均值為0；、、的平均功率（方差）相同，為；同時刻、互相獨立，不相關。

3．和的統計特性

一個均值為0，方差為的窄帶平穩高斯隨機過程，其包絡的一維分布是瑞利分布，相位的一維分布是均勻分布，并且就一維分布而言，與是統計獨立的。即

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六、正弦波加窄帶高斯噪聲

1．正弦波加窄帶高斯噪聲的混合信號表示式

信號表達式為

包絡為

  相位為

2．正弦波加窄帶高斯噪聲的包絡的統計特性

包絡服從廣義瑞利分布，又稱萊斯分布，其概率密度為

其中，為0階修正貝塞爾函數。當信噪比時，它退化為瑞利分布，當信噪比很大時，它趨于高斯分布。