第四章　效用理論

問(wèn)題一

1．構(gòu)成消費(fèi)者行為理論基礎(chǔ)的基本假定之一是隨著消費(fèi)的商品數(shù)量的增加，商品的邊際效用遞減，問(wèn)

（1）如果你認(rèn)為這一假定正確，請(qǐng)說(shuō)明該假定在消費(fèi)者行為理論的發(fā)展及其結(jié)論中起什么作用。

（2）如果你認(rèn)為這一假定是錯(cuò)誤的，請(qǐng)說(shuō)明消費(fèi)者行為理論的主要結(jié)果可以通過(guò)別的方法得到。

答：邊際效用遞減原理表述如下：假定消費(fèi)者對(duì)其他商品的消費(fèi)保持不變，則消費(fèi)者從連續(xù)消費(fèi)某一特定商品中所增加的滿足程度將隨著這種商品消費(fèi)量的增加而遞減。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示，總效用函數(shù)是增函數(shù)，表示為：

邊際效用遞減表示為：

邊際效用遞減規(guī)律是基數(shù)效用論的基本定律，又稱戈森第一定律。導(dǎo)致邊際效用遞減的原因主要是：隨著商品數(shù)量的增加，由于人們生理、心理作用的影響，商品對(duì)人們的刺激力和重要程度都有下降的趨勢(shì)。

（1）認(rèn)為這一假定正確，由邊際效用遞減原理可以得出消費(fèi)者效用最大化的均衡進(jìn)而推導(dǎo)出消費(fèi)者的需求曲線。

消費(fèi)者的均衡是指在商品現(xiàn)行價(jià)格和不變的消費(fèi)者收入的條件下，消費(fèi)者不愿意再變動(dòng)購(gòu)買(mǎi)量。假定消費(fèi)者的行為目標(biāo)是求得效用的最大化或求得最大的滿足，消費(fèi)者的均衡建立在這一假定基礎(chǔ)之上。消費(fèi)者要想獲得效用的最大化，必須按照下列原則調(diào)整自己的購(gòu)買(mǎi)量：在既定的收入與商品價(jià)格下，追求效用最大化的消費(fèi)者分配他在各種商品上支出的原則是使得他花費(fèi)在所購(gòu)買(mǎi)的每一種商品上的最后一元錢(qián)所得到的邊際效用相等。這是消費(fèi)者購(gòu)買(mǎi)商品時(shí)獲得效用最大化的必要條件。這一條件可以表示為：

其中表示任一種商品的邊際效用，表示任一種商品的價(jià)格。

若消費(fèi)者所購(gòu)買(mǎi)的是兩種商品，則消費(fèi)者達(dá)到效用最大化的條件是：

消費(fèi)者均衡條件是在消費(fèi)者收入與商品的價(jià)格既定的條件下達(dá)到的。如果消費(fèi)者的收入或商品的價(jià)格發(fā)生變化，將會(huì)改變消費(fèi)者的均衡。在假定消費(fèi)者的收入不變，某種商品的價(jià)格發(fā)生了變化，會(huì)導(dǎo)致需求量的變化，進(jìn)而得到消費(fèi)者的需求曲線。

（2）如果認(rèn)為這一假定是錯(cuò)誤的，消費(fèi)者行為理論的主要結(jié)果可以通過(guò)序數(shù)效用和無(wú)差異曲線得到。

序數(shù)效用理論認(rèn)為，效用是心理現(xiàn)象，不可以度量，只能根據(jù)偏好的程度排列出第一、第二……的順序。因此，效用的大小只與偏好排列的順序有關(guān)，而與效用絕對(duì)值的大小無(wú)關(guān)。

無(wú)差異曲線表示對(duì)于消費(fèi)者來(lái)說(shuō)能產(chǎn)生同等滿足程度的各種不同商品組合點(diǎn)的軌跡。無(wú)差異曲線也稱為等效用線。無(wú)差異曲線的本質(zhì)特征是商品的不同組合可以產(chǎn)生相同的效用水平。這表明在維持消費(fèi)者效用水平不變的條件下可以用一種商品替代另一種商品。商品間的替代關(guān)系對(duì)于研究消費(fèi)者的選擇行為是非常重要的。在效用理論中，用于刻畫(huà)商品之間替代關(guān)系的一個(gè)重要的概念是邊際替代率。

2．偏好的完備性與偏好的傳遞性含義是什么？考慮、、三組商品以及“至少與同樣好…”這種“至少同樣好”的關(guān)系，這種關(guān)系是完備的嗎？是傳遞的嗎？是反身的嗎？取同樣三組商品，考慮一下“的確比…好的關(guān)系”，這種關(guān)系是完備的嗎？是傳遞的嗎？是反身的嗎？

答：（1）①完備性。完備性是指任意兩組商品，都是可以比較的，而且，比較的全部結(jié)果是：

a．；或b．；或c．兼有a、b兩種情況。最后一種情況表明：組合與組合是無(wú)差別的。

②傳遞性。傳遞性是指假如消費(fèi)者認(rèn)為組合至少與組合同樣好，組合至少與組合同樣好，則組合至少與組合同樣好。也就是若，，則。

③反身性。反身性是指任何一組商品至少和自身一樣好，即。

（2）“至少與同樣好”這種“至少同樣好”的關(guān)系是弱偏好關(guān)系（weak preference），即，這種關(guān)系并非完備，只有表示“至少和同樣好”時(shí)，才說(shuō)明之間的完備關(guān)系。該關(guān)系滿足傳遞性，因?yàn)槿?img alt="" class="h-pic" src="https://epubservercos.yuewen.com/0E3D6A/15436385004510106/epubprivate/OEBPS/Images/image2886.png?sign=1754431343-tMGAsHBNS1Cy2CpRrKHM7VKhTQOifb4J-0-bea7589e4e44629b5d9eec51c4094822">，

，那么可以推出。而反身性是相對(duì)于一組商品自身而言的，即，所以滿足反身性。

（3）取同樣三組商品，若滿足“的確比…好的關(guān)系”，則代表著強(qiáng)偏好，之間則存在完備性。對(duì)于商品本身而言，可以滿足反身性，對(duì)于三種強(qiáng)偏好的商品，則可以滿足傳遞性特點(diǎn)。

3．為什么一個(gè)消費(fèi)者在達(dá)到最大滿足時(shí)，所消費(fèi)的兩商品的邊際替代率等于兩商品的價(jià)格比率？

答：（1）在一定的預(yù)算約束下，為了實(shí)現(xiàn)最大的效用，消費(fèi)者應(yīng)該是選擇最優(yōu)的商品組合，使得兩個(gè)商品的邊際替代率等于兩種商品的價(jià)格之比。即在消費(fèi)者的均衡點(diǎn)上，消費(fèi)者愿意用一單位的某種商品去交換的另一種商品的數(shù)量，應(yīng)該等于該消費(fèi)者能夠在市場(chǎng)上用一單位的這種商品去交換得到的另一種商品的數(shù)量。

（2）假定消費(fèi)者的行為是追求效用最大化。消費(fèi)者均衡是消費(fèi)者達(dá)到效用最大化時(shí)的一種均衡狀態(tài)。如果消費(fèi)者把其既定貨幣收入用于購(gòu)買(mǎi)，兩商品，那么消費(fèi)者從，兩商品的消費(fèi)中獲得效用最大化的必要條件是兩商品的邊際效用之比等于它們的價(jià)格之比，數(shù)學(xué)推導(dǎo)如下：

效用函數(shù)為：，收入函數(shù)為：。

則運(yùn)用拉式函數(shù)求解，即：

分別對(duì)三個(gè)變量求偏導(dǎo)并令其等于零，得到：

……………………①

……………………②

…………… …③

整理①②并把其結(jié)果相比得：

即兩商品的邊際替代率等于兩商品的價(jià)格比率。

問(wèn)題二

1．畫(huà)一條無(wú)差異曲線，該無(wú)差異曲線在各點(diǎn)上的邊際替代率為常數(shù)。再畫(huà)兩條斜率不同的預(yù)算線，解釋在各種可能情況下效用最大化的均衡。

答：（為常數(shù)），意味著無(wú)差異曲線為一條直線，商品和是完全替代品。若預(yù)算線與無(wú)差異曲線重合，則所有點(diǎn)都是均衡點(diǎn)。若預(yù)算線斜率的絕對(duì)值大于無(wú)差異曲線斜率的絕對(duì)值則只購(gòu)買(mǎi)商品，反之只購(gòu)買(mǎi)商品。

圖4-8　完全替代品無(wú)差異曲線

如圖4-8所示，有三種可能的情況。如果，那么預(yù)算線就比無(wú)差異曲線平坦。在這種情況下，最優(yōu)消費(fèi)束是消費(fèi)者把他所有的錢(qián)都花費(fèi)在商品上。如果，那么，消費(fèi)者就只購(gòu)買(mǎi)商品。最后，如果，就會(huì)有一系列的最優(yōu)選擇。在這種情況下，滿足預(yù)算約束的任何數(shù)量的商品和商品都是最優(yōu)的。因此，對(duì)商品來(lái)說(shuō)，需求函數(shù)為：

如果商品是完全替代的，最優(yōu)選擇通常在邊界上，那么，消費(fèi)者將會(huì)購(gòu)買(mǎi)較便宜的一種。而如果兩種商品有相同的價(jià)格，消費(fèi)者就不會(huì)在意購(gòu)買(mǎi)哪一種。

2．假定張、李二人每月將40元錢(qián)用于買(mǎi)飲料。張喜歡含糖飲料，李喜歡不含糖飲料。

（1）在同一坐標(biāo)中畫(huà)出張、李二人的無(wú)差異曲線。

（2）利用邊際替代率解釋張、李二人的無(wú)差異曲線為何不同。

（3）如果張、李二人對(duì)于所購(gòu)兩種飲料支付同樣的價(jià)格，他們的邊際替代率是否相同？為什么？

答：（1）如圖4-9所示，縱坐標(biāo)表示含糖飲料，橫坐標(biāo)表示不含糖飲料，因?yàn)閺埾矚g含糖飲料，李喜歡不含糖飲料，因此張的無(wú)差異曲線在任一點(diǎn)較之李的無(wú)差異曲線平緩。

圖4-9　兩人的無(wú)差異曲線

（2）對(duì)于平面的任一組合點(diǎn)，為得到一單位不含糖飲料，張?jiān)阜艞壍暮秋嬃媳壤钜伲瑥埿枰嗟牟缓秋嬃先パa(bǔ)償自己所放棄的某些含糖飲料，因此，張具有比較低的邊際替代率。

（3）張、李的相等，等于價(jià)格比率，但由于二者偏好不同，他們消費(fèi)的兩種商品量不同，在不同的消費(fèi)數(shù)量下，他們的相同。

3．某大學(xué)生只有6天的時(shí)間應(yīng)付期末考試。該生要考數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、英語(yǔ)三門(mén)課。他的目標(biāo)是要求得三門(mén)課盡可能高的總成績(jī)（或者說(shuō)三門(mén)課盡可能高的平均成績(jī)）。他每門(mén)課的成績(jī)依賴于他分配在每門(mén)課上的復(fù)習(xí)時(shí)間。根據(jù)時(shí)間的安排，每門(mén)課成績(jī)最佳估計(jì)分?jǐn)?shù)如下：

該生如何分配復(fù)習(xí)時(shí)間才能使總成績(jī)最高？

解：在6天的時(shí)間分配中，分別把1-6天中經(jīng)濟(jì)學(xué)，數(shù)學(xué)，英語(yǔ)相應(yīng)的邊際效用計(jì)算出來(lái)，該邊際效用是指多復(fù)習(xí)一天能夠提高的分?jǐn)?shù)。

表4-1

如表4-1所示，經(jīng)濟(jì)學(xué)用3天，數(shù)學(xué)用2天，英語(yǔ)用1天，則能使他花在每門(mén)課上的最后一天時(shí)間帶來(lái)的成績(jī)的提高量相等，即等于邊際效用10。根據(jù)消費(fèi)者均衡條件，，且此時(shí)3天＋2天＋1天＝6天，可以達(dá)到最優(yōu)時(shí)間配置。

4．某消費(fèi)者消費(fèi)與兩種商品，其無(wú)差異曲線每一點(diǎn)上的斜率都等于，是表示商品的數(shù)量，

表示商品的數(shù)量。

（1）假定消費(fèi)者的貨幣收入為，、分別為，兩商品的價(jià)格。證明對(duì)于商品的需求獨(dú)立于商品的價(jià)格；并證明商品需求的價(jià)格彈性等于1。

（2）當(dāng)元，元，元時(shí)，該消費(fèi)者的邊際替代率是多少？

（3）恩格爾曲線的形狀是什么樣？對(duì)商品需求的收入彈性是多少？

解：（1）消費(fèi)者均衡時(shí)，，那么，。

令預(yù)算方程為：，因此則有：

可得：，這就是對(duì)商品的需求函數(shù)。

由此可見(jiàn)，對(duì)的需求不取決于的價(jià)格。

對(duì)于，有。于是，。

故商品的需求價(jià)格彈性為1。

（2）已知，，消費(fèi)者均衡時(shí)，。

（3）由，得出。因此，若以貨幣收入為縱軸，以商品的消費(fèi)量為橫軸，則表示和

之間關(guān)系的恩格爾曲線是一條向右上方傾斜的直線，而且是從原點(diǎn)出發(fā)的（因?yàn)楫?dāng)為零時(shí)，也為零）直線，其斜率是。

對(duì)商品需求的收入彈性：

5．設(shè)某消費(fèi)者效用函數(shù)為；消費(fèi)者的收入為；、兩商品的價(jià)格分別為、

；求對(duì)于、兩商品的需求。

解：該消費(fèi)者的效用最大化問(wèn)題為：

該問(wèn)題的拉格朗日函數(shù)為：

使最大化的、、滿足一階條件：

　 ①

　  ②

  ③

①式除以②式，得：

即：

　  ④

④式代入③式得：

　  ⑤

⑤式代入④式得：

  ⑥

并把其結(jié)果相比得：商品的邊際效用之比等于它們的價(jià)格之比，⑤，⑥兩式即為，的需求函數(shù)。