第8章　選　擇

1．弗蘭克·費雪的支出函數是，他對開玩笑的需求函數是，其中為價格向量，收入。證明：對弗蘭克而言，當且僅當時，開玩笑為正常品。

Frank Fisher’s expenditure function is . His demand function for jokes is , where  is vector of prices and  is his income. Show that jokes are a normal good for Frank if and only if .

證明：恒等式兩邊關于求導得：

，由于收入的邊際效應一定為正，故當且僅當時，，開玩笑為正常品。

2．計算兩物品的柯布-道格拉斯需求函數的替代矩陣。驗證對角線各項是負的，交叉價格效應是對稱的。

Calculate the substitution matrix for the Cobb-Douglas demand system with two goods. Verify that the diagonal terms are negative and the cross-price effects are symmetric.

答：柯布-道格拉斯效用函數由下式給出：，在兩邊取對數，兩種物品的需求函數可以通過解下式導出：

滿足　 

將約束條件代入目標函數得到：

解出物品1的馬歇爾需求為：

代入預算約束得出物品2的馬歇爾需求為：

簡化起見，令，，則兩物品的柯布-道格拉斯需求函數可以寫成：

由斯拉茨基方程：中可以得出替代效應：

將需求函數分別對、、求導，代入替代效應表達式中，即得出替代矩陣如下：

從上面表達式中可以看出，其對角線各項是正的，且交叉價格效應相等：

3．假設一個消費者具有線性需求函數。寫出為得到貨幣度量的間接效用函數而需要求解的微分方程；如果可能，解此方程。

Suppose that a consumer has a linear demand function . Write down the differential equation you would need to solve to find the money metric utility function. If you can, solve this differential equation.

答：由支出函數的性質可以知道：

又因為：

這就意味著：

令，由上式可以得到：

令表示貨幣度量的效用函數，那么就有：

對于線性需求函數，微分方程為：

這是一階線性微分方程，求解得到：

4．假設一個消費者具有一個半對數需求方程。寫出為得到貨幣度量的效用函數而需要求解的微分方程。如果可能，請解此方程。

Suppose that a consumer has a semi-log demand function . Write down the differential equation you would need to solve to find the money metric utility function. If you can, solve this differential equatio.

答：根據上題的步驟可以得到：

相應的的微分方程為：

求解得：

積分得到：

利用約束條件得到：

5．某消費者，其效用函數為，其預算約束為。求出其需求束。

Find the demanded bundle for a consumer whose utility function is  and her budget constraint is

.

解：需求函數可由下式解出：

寫出拉格朗日函數：

一階條件為：

求解得：，。

6．利用效用函數，預算約束，計算，，和。

Use the utility function  and the budget constraint  to calculate

,,  and .

解：消費者的效用最大化問題為：

拉格朗日函數為：

一階條件為：

由以上三式解得需求函數為：

將求得的需求函數代入效用函數即得出間接效用函數：

由于支出函數是間接效用函數的反函數，所以支出函數為：

由支出函數的性質：，所以希克斯需求函數為：

7．根據效用函數，計算，，和，并驗證替代矩陣項是對稱的。

Extend the Cobb-Douglas utility function to the case where

compute the terms ,,,and , and check the symmetry of the matrix of substitution terms.

解：支出最小化問題：

拉格朗日函數為：

一階條件是：

用（2）式除以（1）式得：

聯立（3）、（4）兩式解得希克斯需求為：

因為：

故替代矩陣項是對稱的。

將希克斯需求代入目標函數中，得到支出函數為：

由于間接效用函數是支出函數的反函數，所以得到間接效用函數為：

根據羅伊等式：

解得馬歇爾需求為：

8．利用效用函數，重復6、7的練習，并證明如果用替換，前面的所有公式依然成立。

Repeat the previous using  and show that all the previous formula hold provided u is replaced by .

答：消費者的效用最大化問題為：

拉格朗日函數為：

一階條件為：

由上面三式解得需求函數為：

將求得的需求函數代入效用函數即得出間接效用函數為：

由于支出函數是間接效用函數的反函數，所以支出函數為：

由支出函數的性質：，所以希克斯需求函數為：

消費者的支出最小化問題為：

拉格朗日函數為：

一階條件是：

由以上三式解得：

下面來驗證替代矩陣的對稱性：

故替代項矩陣是對稱的。將希克斯需求代入目標函數中，得到支出函數為：

由于間接效用函數是支出函數的反函數，所以得到間接效用函數為：

根據羅伊等式：

解得馬歇爾需求為：

9．以代表偏好關系，計算支出函數、間接效用函數和需求。對于一個單調遞增的函數，如果同樣的偏好關系現在用來代表，證明：被代替，被代替，被代替。同時驗證，馬歇爾需求未受影響。

Preferences are represented by and a expenditure function, indirect utility function and demands are calculated. If the same preferences are now represented by  for a monotone increasing function , show that  is replaced by  , by , and  by . Also, check that the Marshallian demands  are unaffected.

證明：在不同的效用函數下，消費者的效用最大化問題為：

和

斷言這兩個問題的最優解相同。如果不是這樣，那么，會存在某一其他選擇，滿足及。由于是單調遞增函數，則對不等式兩邊進行變換，不等式仍成立，于是有

且，這違反了原假設：是在約束下最大化的需求。因此有

，馬歇爾需求不變。（逆命題也成立——即當同樣的預算約束在兩種情形下都成立時，最大化的選擇也最大化。）

根據支出函數的定義，以及上式的結果，有下式成立：

再次運用希克斯需求的定義及以上的結論，可得到如下等式成立：

該題得證。

10．考察戴維的兩期效用模型，其中代表其在第一時期的消費，代表其在第二時期的消費。戴維在每一時期被給予的消費量是，但他也可以對現在和未來的消費進行交易，即把現在的消費賣給將來消費，反之亦然。因此，其預算約束為：

其中，分別為第一期和第二期的價格。

（a）推導此模型的斯拉茨基方程。（注意，現在戴維的收入取決于他被給予的消費量的價值，而此價值又取決于價格；。）

（b）假設戴維的最優選擇滿足。如果價格下降，戴維的處境會好轉還是會惡化？

（c）什么是消費物品的回報率？

Consider a two-period model with Dave’s utility given by  where  represents his consumption during the first period and  is his second period’s consumption. Dave is endowed with  which he could consume in each period, but he could also trade present consumption for future consumption and vice versa. Thus, his budget constraint is

where  and  are the first and second period prices respectively.

（a）Derive the Slutsky equation in this model. （Note that now Dave’s income depends on the value of his endowment which, in turn, depends on prices: .）

（b）Assume that Dave’s optimal choice is such that . If  goes down, will Dave be better off or worse off? What if  goes down?

（c）What is the rate of return on the consumption good?

答：（a）對恒等式兩邊對求解得：

根據支出函數的定義有：

再運用包絡定理，得到：

因此，有：

變形得到斯拉茨基方程為：

（b）戴維的境況在下降時會惡化。理由如下：跨期模型的消費者效用最大化問題為：

根據包絡定理可知：

這里是收入效應，它是一個正數。由于，所以，所以下降時，消費者的效用會降低。

（c）消費物品的回報率為：。

11．考察一個對物品1和物品2有需求的消費者。當物品價格為時，其需求為。當價格為時，其需求為，若沒有其他重要的變化，問該消費者是否最大化其效用？

Consider a consumer who is demanding goods 1 and 2. When the price of the goods are , he demands

. When the prices are , he demands . Nothing else of significance changed. Is this consumer maximizing utility?

答：消費者沒有最大化其效用，因為他的需求行為違反了顯示偏好“一般性公理”。當價格為時，他支出了10。在這些價格下他能夠負擔消費束，但他拒絕了它；所以，。當價格為時，他支出了15。在這些價格下他能夠負擔得起消費束，但拒絕了它，所以。兩者相矛盾，因此消費者沒有最大化自己的效用。

12．假定間接效用函數的形式為。問：支出函數是何種形式？效用函數和表示的間接補償函數是何種形式？

Suppose that the indirect utility function takes the form. What is the form of the expenditure

function? What is the form of the indirect compensation function,  in terms of the functionand ?

答：由于支出函數是間接效用函數的反函數，因此，支出函數為：

間接補償函數為：

因此用函數和表示的間接補償函數是：

13．效用函數為。

（a）畫出的無差異曲線，把的部分涂上陰影。

（b）當為何值時，唯一的最優解是？

（c）當為何值時，唯一的最優解是？

（d）如果，均不為0，且最優解是唯一的。那么，一定為何值？

The utility function is .

（a）Draw the indifference curve for .Shade the area where .

（b）For what values of  will the unique optimum be ?

（c）For what values of will the unique optimum be ?

（d）If neither  nor  is equal to zero, and the optimum is unique, what must be the value of ?

解：（a）畫出直線和。無差異曲線如圖8-1中陰影區域的邊界所示。的部分如圖8-1中陰影部分所示。

圖8-1　不光滑的無差異曲線

（b）預算線的斜率為。當時，效用函數的方程為，該方程的斜率為-2。如果預算線斜率大于2，此時預算約束線與效用函數相交于軸，則。所以條件為。

（c）同理，如果預算線斜率小于，將等于0，所以條件是。

（d）如果最優值是唯一的，它必出現于直線和的相交處。這意味著，于是

，由圖形可知。

14．在現行稅制下，一個人可以每年在個人退休賬戶（I.R.A．）中儲蓄2000美元。I.R.A.是一個有稅收優惠待遇的儲蓄工具。考察一個在特定時點具有收入的消費者，他愿意將部分用于消費，用于I.R.A.儲蓄，用于普通儲蓄。假設“簡化型”效用函數的形式為：

（這是一個簡化型效用函數，因為這些參數并不是真正外生性質的參數，而且還包括資產稅處理等問題）。該消費者的預算約束為

該消費者可在I.R.A.中儲蓄的限度以表示。

（a）推導一個限度不受約束的消費者對和的需求函數。

（b）推導一個限度存在約束的消費者對和的需求函數。

Under current tax law some individuals can save up to ＄2,000 a year in an Individual Retirement Account （I.R.A.）, a savings vehicle that has an especially favorable tax treatment. Consider an individual at a specific point in time who has income, which he or she wants to spend on consumption, , I.R.A. savings, , or ordinary savings

. Suppose that the "reduced form" utility function is taken to be:

（This is a reduced form since the parameters are not truly exogenous taste parameters, but also include the tax treatment of the assets; etc.） The budget constraint of the consumer is given by:

and the limit that he or she can contribute to the I.R.A. is denoted by .

（a）Derive the demand functions for  and  for a consumer for whom the limit  is not binding.

（b）Derive the demand function for  and  for a consumer for whom the limit  is binding.

答：（a）這是一個普通的柯布-道格拉斯效用函數，最大化效用為：

拉格朗日函數為：

一階條件為：

根據效用最大化解得需求函數為：

（b）在這種情況下，，因此最大化效用為：

拉格朗日函數為：

一階條件為：

根據效用最大化解得需求函數為：

15．一個效用最大化的消費者具有嚴格凹的且嚴格單調的偏好關系，他消費兩個物品和，每個物品的價格均為1；他的消費不能為負，他每年具有收入，現期消費水平為，其中，。假設下一年他得到一筆捐贈，他必須將其全部用于物品1的支付。（如果他愿意，他可以拒絕接受這筆捐贈。）

（a）判斷正誤。如果物品1為正常品，則這筆捐贈對其消費的影響，一定與一筆不附條件的同樣數量的一次性捐贈的影響相同。若正確，請證明；若錯誤，也請證明其是錯誤的。

（b）判斷正誤，如果上述消費者在全部收入時，物品1為低質品，如果得到一筆他必須用于物品1消費的捐贈，對其消費的影響一定與不附條件的同樣數量的捐贈的影響相同。若正確，請證明；若錯誤，請說明如果有人給予該消費者這筆捐贈，他將如何處理。

（c）假設如果上面討論的消費者具有相似偏好，現在消費的。畫一個以為橫軸，以物品1的數量為縱軸的圖。用此圖來說明，如果他的普通收入，如果他得到一筆必須用于物品1消費的捐贈，他對物品1的需求量。在為何水平時，此圖具有一個拐點（kink）？（在回答此問題以前考慮一下，給出一個數量答案）

A utility-maximizing consumer has strictly convex, strictly monotonic preferences and consumes two goods,  and , each of which has a price of 1. He cannot consume negative amounts of either good. The consumer has an income of m every year. His current level of consumption is, where  and . Suppose that next year he will be given a grant of  which must be spent entirely on good 1. （If he wishes, he can refuse to accept the grant.）

（a）True or False? If good 1 is a normal good, then the effect of the grant on his consumption must be the same as the effect of an unconstrained lump sum grant of an equal amount. If this is true, prove it. If this is false, prove that it is false.

（b）True or False? If good 1 is an inferior good for the above consumer at all incomes , then if he is given a grant of  which must be spent on good 1, the effect must be the same as an unconstrained grant of an equal amount. If this is true, prove it. If this is false, show what he will do if he is given the grant.

（c）Suppose that the consumer discussed above has homothetic preferences and is currently consuming  and .  Draw a graph with  on the horizontal axis and the amount of good 1 on the vertical axis. Use this graph to show the amount of good 1 that the consumer will demand if his ordinary income is  and if he is given a grant of  which must be spent on good 1. At what level of  will this graph have a kink? （Think for a minute before you answer this. Give a numerical answer.）

答：（a）這個說法正確。理由如下：假設消費者得到的捐贈沒有消費限制，那么由于商品1是正常品，所以它的需求，超過了捐贈的數量，因此在有捐贈限制的條件下，消費者會額外購買

數量的商品1，從而消費者的境況和沒有限制時一樣好。

（b）這個說法錯誤，理由如下：因為商品1是劣等品（當消費者的收入超過最初收入的時候），所以當消費者得到沒有附加條件的捐贈后，其對商品1的消費量為。如果，那么當得到有附加條件的捐贈后，消費者至少要消費數量為的商品1，因此這兩種情況對消費者的影響是不同的。

（c）由于消費者具有位似偏好，所以當收入變化時，每種商品的最優消費量會同比例增加，增加的倍數等于收入增加的倍數。這樣如果消費者的收入為時，那么他對每種商品的需求就是：

可見，當，即時，消費者除了把所有的捐贈都拿來購買商品1以外，還會用自己的收入購買部分商品1；當，即時，消費者在當前情況下愿意消費的商品1的數量上限也不超過，所以在有捐贈限制的時候，他只能消費。綜上可知，由圖8-2可知，拐點出現在。

圖8-2　捐贈和消費的關系