第9章　需　求

1．假設(shè)偏好是相似的，證明：

Suppose preferences are homothetic. Show that

證明：相似偏好的效用函數(shù)有如下形式：

這里是單增函數(shù)，是一次齊次函數(shù)。特別的，由于效用函數(shù)的單調(diào)變換不改變它表示的偏好，所以一般情況下，可以直接假設(shè)是一次齊次函數(shù)。相似偏好的間接效用函數(shù)可以寫成，根據(jù)羅伊恒等式就有：

從而：

比較上面兩個(gè)式子可知：

2．某個(gè)特殊物品的需求函數(shù)是，求相關(guān)的直接和間接效用函數(shù)。

The demand function for a particular good is . What are the associated direct and indirect utility functions?

解：這是一個(gè)可積性問(wèn)題。

將除物品外的其他所有物品統(tǒng)稱為物品，是物品與物品z的相對(duì)價(jià)格，即將物品的價(jià)格正規(guī)化為1。令為收入，因此消費(fèi)者預(yù)算約束可以寫成：。

可積性方程為：

邊界條件為：

求解微分方程可以得到：

是一個(gè)常整數(shù)，其中是以貨幣度量的間接效用函數(shù)。

由可得：，代入上式得：

貨幣度量的效用函數(shù)形式上是一個(gè)當(dāng)固定不變時(shí)關(guān)于和的間接效用函數(shù)。因此，與已知的需求函數(shù)相一致的間接效用函數(shù)是：

由于不變，所以可以去掉。下面使用羅伊恒等式來(lái)檢驗(yàn)這一間接效用函數(shù)與需求函數(shù)是一致的。

因此根據(jù)羅伊恒等式，有：

所以這一間接效用函數(shù)是與需求函數(shù)相對(duì)應(yīng)的。根據(jù)消費(fèi)者理論的對(duì)稱性，可以求相應(yīng)的直接需求函數(shù)：

將預(yù)算約束線帶入目標(biāo)函數(shù)得到關(guān)于的最優(yōu)值：

因此直接效用函數(shù)為：

這是一個(gè)擬線性效用函數(shù)。

3．某個(gè)特殊物品的需求函數(shù)是，求相關(guān)的直接和間接效用函數(shù)。（提示：要完美地解答本題，你需要知道如何解答一個(gè)線性、非齊次微分方程。如果不記得如何做，你可以僅僅列出方程。）

The demand function for a particular good is . What are the associated direct and indirect utility functions? （Hint: You have to know how to solve a linear, nonhomogeneous differential equation to solve this problem completely. If you can’t remember how to do this, just write down the equation.）

解：由貨幣度量的間接效用函數(shù)的定義得：

求解齊次部分的解：

求解微分方程得到：

齊次部分的解具有的形式，非齊次方程的特解由下式給出：

所以微分方程的通解為：

由于得到：

因此，間接效用函數(shù)為：

可以用羅伊恒等式驗(yàn)證此處得到原需求函數(shù)。

因此這一間接效用函數(shù)是與需求函數(shù)相對(duì)應(yīng)的。根據(jù)消費(fèi)者理論的對(duì)稱性，可以求相應(yīng)的直接需求函數(shù)：

解出直接效用函數(shù)，最優(yōu)值由下式給出：

將預(yù)算約束線帶入目標(biāo)函數(shù)得到關(guān)于的最優(yōu)值：

4．兩物品的需求函數(shù)是：

理論中隱含的對(duì)參數(shù)的限制是什么？求相關(guān)的貨幣測(cè)度效用函數(shù)。

The demand functions for two goods are

What restrictions on the parameters does the theory imply? What is associated money metric utility function?

答：由于這個(gè)需求函數(shù)是從效用最大化中得到的，因此相應(yīng)的替代矩陣必然滿足對(duì)稱性和半負(fù)定性，由于：

所以可以得到，以及，下面求解貨幣測(cè)度的效用函數(shù)，它滿足如下的偏微分方程組：

利用矩陣形式改寫上述方程組得到：

其中，，從而解得：

5．求習(xí)題4中的直接效用函數(shù)。

What is the direct utility function for the previous problem?

解：這一間接效用函數(shù)是與需求函數(shù)相對(duì)應(yīng)的。根據(jù)消費(fèi)者理論的對(duì)稱性，可以求相應(yīng)的直接需求函數(shù)：

將預(yù)算約束方程代入目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)4的結(jié)果以及極值運(yùn)算后解得：

將以上兩式代入目標(biāo)函數(shù)，得直接效用函數(shù)為：

6．用表示價(jià)格和收入，令。用羅伊恒等式導(dǎo)出表達(dá)式

Let  be prices and income, and let . Use Roy’s identity to derive the formula

答：羅伊恒等式為：

由題意可得：，對(duì)和求偏微分得：

根據(jù)羅伊恒等式即得：

Consider the utility function. . Is this utility function （weakly） separable in ? What is the subutility function for the -good consumption? What are the conditional demands for the -goods, given the expenditure on the -goods, ?

道格拉斯效用函數(shù)，所以相應(yīng)的要素需求函數(shù)為：

8．存在兩物品和，物品的消費(fèi)需求函數(shù)是，其中是物品相對(duì)于物品的價(jià)格，表示貨幣收入除以物品的價(jià)格。

（a）求出導(dǎo)致這種需求行為的間接效用函數(shù)。

（b）這個(gè)可微方程式的邊界條件是什么？

Two goods are available,  and . The consumer’s demand function for the -good is given by

, where  is the price of the -good relative to the -good, and  is money income divided by the price of the -good.

（a） What equation would you solve to determine the indirect utility function that would generate this demand behavior?

（b） What is the boundary condition for this differential equation?

答：（a）由函數(shù)的可積性問(wèn)題可知貨幣度量的間接需求函數(shù)為：

通過(guò)求解這個(gè)方程就可以計(jì)算出消費(fèi)者的間接效用函數(shù)。

（b）這個(gè)微分方程的邊界條件是。

A consumer has a utility function .The prices of the three goods are given by

 and the money the consumer has to spend is given by m.

（a）It turns out that this utility function can be written in the form . What is the function

? What is the function ?

（b）What are the demand functions for the three goods?

（c）What is the indirect utility function?

解：（a）這是一個(gè)物品的歸并問(wèn)題。需要構(gòu)造一個(gè)新的效用函數(shù)，只取決于。因此有：

（b）注意到商品和商品是互補(bǔ)的，而、和是相互替代的，所以每種商品的馬歇爾需求函數(shù)為：

（c）由效用函數(shù)可以知道，消費(fèi)束物品與物品與物品是相互替代的，因此間接效用函數(shù)為：

10．設(shè)存在兩物品和，用表示物品1的價(jià)格，設(shè)物品2的價(jià)格等于1，用表示收入，物品1的消費(fèi)需求是。

（a）求物品2的需求函數(shù)。

（b）求方程式，這個(gè)方程式可以計(jì)算產(chǎn)生需求函數(shù)的收入補(bǔ)償函數(shù)。

（c）求與需求函數(shù)相關(guān)的收入補(bǔ)償函數(shù)。

Suppose that there are two goods,  and . Let the price of good 1 be denoted by  and set the price of good 2 equal to 1. Let income be denoted by . A consumer’s demand for good 1 is given by

.

（a）What is the demand function for good 2?

（b）What equation would you solve to calculate the income compensation function that would generate these demand functions?

（c）What is the income compensation function associated with these demand functions?

解：（a）預(yù)算約束為：

求解得到：

將的需求函數(shù)代入上式得到：

（b）為了求解收入補(bǔ)償函數(shù)，首先要求解用貨幣度量的間接效用函數(shù)，即要求解如下的微分方程：

（c）求解（b）中的方程可以得到：

下面分兩種情況討論收入補(bǔ)償：

①希克斯補(bǔ)償：即消費(fèi)者得到補(bǔ)償后可以達(dá)到和價(jià)格變化前相同的效用水平。由支出函數(shù)的性質(zhì)可知：

從而解得：

②斯勒茨基補(bǔ)償：即消費(fèi)者得到補(bǔ)償后可以購(gòu)買到和價(jià)格變化前相同數(shù)量的消費(fèi)品。即：

從而消費(fèi)者的收入補(bǔ)償為：

（a）What are the Marshallian （market） demand functions for each of the goods by each of the consumers? Denote the income of consumer 1 by  and the income of consumer 2 by

（b）For what value（s） of the parameter  will there exist an aggregate demand function that is independent of the distribution of income?

解：（a）由于間接效用函數(shù)是支出函數(shù)的反函數(shù)，因此解得間接效用函數(shù)為：

根據(jù)羅伊恒等式：

解得消費(fèi)者1的馬歇爾需求為：

可以看出這是柯布-道格拉斯需求函數(shù)。

消費(fèi)者2：由消費(fèi)者2的需求函數(shù)可以看出，第2個(gè)人具有柯布—道格拉斯效用，根據(jù)結(jié)論可以直接寫出馬歇爾需求：

（b）要使得存在一個(gè)總需求函數(shù)獨(dú)立于收入的分配，必須滿足兩種物品的邊際消費(fèi)傾向相等，因此有：

，解得：。