第7章　效用最大化

1．考慮由如下關系定義的偏好：

（a）該偏好是否滿足局部非飽和性假設？

（b）若消費集中僅包括兩種消費物品，且消費者面臨正的價格，消費者會花費其全部收入嗎？請解釋。

Consider preferences defined over the nonnegative orthant by if . Do these preferences exhibit local nonsatiation? If these are the only two consumption goods and the consumer faces positive prices, will the consumer spend all of his income? Explain.

答：（a）由局部非飽和性的定義：給定消費集中的任意消費束和任意，消費集中總存在消費束，滿足，使得。局部非飽和性的含義是：即使僅允許對消費束作微小調整，消費者也可以做得更好一些。

對于任意的消費束和非常小的正數，令：

那么：

所以該偏好滿足局部非飽和性，但是在這一點除外。

（b）消費者不會花光他全部的收入，理由如下：對任意花光全部收入的消費束，一定有：

對于這樣的消費束，消費者只要把每種商品的消費量減少一點就可以提高自己的效用，因此在追求效用最大化的假設條件下，消費者是不會花光他全部收入的。

2．某一消費者具有效用函數。求消費者對物品1的需求函數，并求消費者的間接效用函數和支出函數。

A consumer has a utility function : What is the consumer’s demand function for good 1? What is his indirect utility function? What is his expenditure function?

解：設價格為、，總收入為。在局部非飽和條件下，消費者的最優化問題可表述為：

由效用函數的形式可以看出，兩種物品是相互替代的，任何一種物品都可以滿足效用的最大化，因此，物品1的需求函數為：

如果滿足，則只消費，因此間接效用函數為：

同理可以得到：

由于兩種物品和是相互替代的，因此間接效用函數為：

由于支出函數是間接效用函數的逆函數，所以支出函數為：

3．某一消費者具有下述形式的間接效用函數：

該消費者的支出函數是何種形式?該消費者的（擬凹）效用函數是何種形式？對物品1的需求函數是何種形式？

A consumer has a n indirect utility function of the form

What is the form of the expenditure function for this consumer? What is the form of the utility function for this consumer? What is the form of the demand function for good 1?

答：由于支出函數是間接效用函數的逆函數，所以該消費者的支出函數是：

由支出函數可以看出，由于兩種物品是相互替代的，因此消費者將消費較便宜的那種消費品，所以效用函數為：

（或者是的任何單調變換，不唯一）

由于兩種物品是相互替代的，因此物品1的需求函數是：

4．考察以下給出的間接效用函數：

（a）求需求函數；

（b）求支出函數；

（c）求直接效用函數。

Consider the indirect utility function give by .

（a）What are the demand functions?

（b）What is the expenditure function?

（c）What is the direct utility function?

解：（a）根據羅伊恒等式：

（b）由于支出函數是間接效用函數的逆函數，因此支出函數為：

（c）由支出函數可以看出，兩種物品是互補的，因此效用函數是里昂惕夫效用函數：

5．某消費者具有如下形式的直接效用函數：

其中物品1是一個離散的物品，對其唯一的可能消費水平是和。為方便起見，假設，。問：

（a）該消費者具有何種類型的偏好？

（b）嚴格低于何種水平，該消費者才會明確選擇？

（c）與此直接效用函數相聯系的間接效用函數的代表形式是什么？

A consumer has a direct utility function of the form

Good 1 is a discrete good; the only possible levels of consumption of good 1 are  and .For convenience, assume that ,.

（a）What kind of preferences does this consumer have?

（b）The consumer will definitely choose  if p₁ is strictly less than what?

（c）What is the algebraic form of the indirect utility function associated with this direct utility function?

答：（a）形如的效用函數為擬線性效用函數，該消費者具有擬線性偏好，效用函數對第二種商品來說是線性的。

（b）消費者的問題是：

將約束條件代入目標函數，可以得到無約束的效用最大化問題：

由于商品1是離散的，因此不能使用古典優化條件。當時，效用為；當時，效用為

。要使得消費者選擇，要求，因此有：

（c）消費者的效用最大化行為表述如下：

上述最大化問題還可以寫成無約束條件下的最大化問題：

由于物品1是離散的物品，唯一的可能消費水平是和。當時，上式最大值為；當時，上式最大值為。

又由于間接效用函數是將最優商品束代入作為目標函數的效用函數所得到的效用最大值，因此間接效用函數為：

6．某消費者具有間接效用函數，問：

（a）該消費者具有何種偏好？

（b）該消費者的支出函數？

（c）該消費者的貨幣度量的間接效用函數？

（d）如果消費者具有間接效用函數，其中，則該消費者現在具有何種貨幣度量的間接效用函數？

A consumer has an indirect utility function of the form

（a）What kind of preferences does this consumer have?

（b）What is the form of this consumer’s expenditure function, ?

（c）What is the form of this consumer’s indirect money metric utility function, ?

（d）Suppose instead that the consumer had an indirect utility function of the form  for .What will be the form of the consumer’s indirect money metric utility function now?

答：（a）該消費者有位似偏好。這是因為他的需求函數是，這就說明該消費者的任意兩條無差異曲線是平行的。

（b）由于支出函數是間接效用函數的反函數，因此有：

（c）由貨幣度量的間接效用函數的定義：，得：

（d）當間接效用函數變為（其中）后，支出函數為：

貨幣度量的間接效用函數為：