第5章　成本函數

1．一個廠商有兩個車間。一個車間按照成本函數來生產；另一個車間按照成本函數來生產。要素價格固定，所以從討論中省略掉。該廠商的成本函數是什么？

A firm has two plants. One plant produces according to a cost function .The other plant produces according to a cost function .The factor prices are fixed and so are omitted from the discussion. What is the cost function for the firm?

解：企業的成本最小化問題是：

解得：，代入目標函數，得到：

2．一個廠商有兩個車間，成本函數分別是和。該廠商的成本函數是什么？

A firm has two plants with cost functions  and .What is the cost function for the firm?

解：廠商想使生產既定產出水平的成本最小化，則有：

一階條件是：。廠商最優化選擇必使，則有。聯立，得：

，。由于成本函數為凸函數，因此最優解為一內點解。

則成本函數為：

3．一個廠商的生產函數由給出。該技術的成本函數是什么？作為要素價格和產出的函數的要素1和2的條件要素需求函數是什么？

A firm has a production function given by . What is the cost function for this technology? What is the conditional demand function for factors 1 and 2 as a function of factor prices and output?

答：首先，在生產函數中，兩種技術是互補的。考慮第一種技術，有。因為生產函數是線性的，因此兩種要素是相互替代的，廠商將選擇便宜的要素來生產。因此，這種技術的成本函數為：

同理，第二種技術的成本函數為：

因為兩種技術是互補的，所以成本函數為：

要素1和2的條件要素需求函數分別是：

4．一個廠商的生產函數由給出。該技術的成本函數是什么？作為要素價格

和產出的函數的要素1和2的條件要素需求函數是什么？

A firm has a production function given by .What is the cost function for this technology? What is the conditional demand function for factors 1 and 2 as a function of factor pricesand output?

解：令和，分別畫出這兩條曲線如圖5-1所示。等產量線就是斜率為-2的曲線上位于這兩條曲線交點以左的部分和斜率為-1/2的曲線上位于交點以右部分所組成的折線。

圖5-1　折彎的等產量線

當時， 最佳生產點位于：，此時成本為；

當時，最佳生產點位于：，此時成本為；

當時，最佳生產點位于：，此時成本為。

廠商會選擇最小的成本來進行生產，因此，成本函數為：

要素1的條件要素需求函數是：

要素2的條件要素需求函數是：

5．一個廠商的生產函數形式為。這個廠商有凸的還是非凸的投入要求集？要素1的條件要素需求函數是什么？成本函數是什么？

A firm has a production function of the form .Does this firm have a convex or a nonconvex input requirement set? What is the factor demand function for factor 1? What is its cost function?

解：廠商的投入要求集如圖5-2中的陰影部分，易見它是非凸的。

圖5-2　廠商的投入要求集

下面求成本函數：

顯然廠商的最優選擇是只使用一種生產要素，這是因為廠商的產量只和使用數量多的那種要素有關，從而增加使用數量少的要素不會增加產量，只會提高成本。由于廠商只用一種要素生產，而且兩種要素可以按照1∶1的比例完全替代，所以廠商只會使用價格便宜的那種要素，這樣廠商的成本函數為：

條件要素需求函數為：

6．考慮一個有如下條件要素需求函數形式的廠商

為方便起見，設產出等于1。參數、、的取值是什么？為什么？

Consider a firm with conditional factor demand functions of the form

Output has been set equal to 1 for convenience. What are the values of the parameters , , and  and why？

解：根據條件要素需求函數的性質：函數是關于價格的零次齊次性函數，則有：

又根據“交叉價格效應的對稱性”：，得到：。

7．一個廠商的生產函數為。時，生產的最小成本等于4，等于什么？

A firm has a production function . If the minimum cost of production at is equal to 4, what is

 equal to?

解：成本最小化模型為：

將約束條件代入目標函數以得到無約束極小化問題：

一階條件為：

得：

同理可得：

代入目標函數得到：

解得：

8．一個廠商的成本函數為

令為產出價格，要素價格固定，如果，該廠商會生產多少？如果，該廠商會生產多少？該廠商的利潤函數是什么？

A firm　has a cost function

Let p be the price of output, and let the factor prices be fixed. If  how much will the firm produce?  If

 how much will the firm produce? What is the profit function of this firm?

答：如果，根據可知：，解得。此時，收益為，成本為，公司將獲得零利潤。

如果，由可知：，解得。但是由，此時利潤為負，因此廠商選擇停產，。

根據，可得，解得，利潤為。因此，利潤函數為：。

9．一個典型的硅谷廠商使用成本函數來生產塊集成電路產出，該成本函數顯示出遞增的邊際成本。它生產的集成電路塊里，有的概率是次品，不能賣出。能工作的電路塊可以價格賣出，且集成電路塊市場是高度競爭的。

（a）計算利潤對的導數和該導數的符號。

（b）計算產出對的導數和該導數的符號。

（c）假設有個相同的集成電路生產商，令為需求函數，為競爭均衡價格。計算和它的符號。

A typical Silicon Valley firm produces output of chips  using a cost function , which exhibits increasing marginal costs. Of the chips it produces, a fraction  are defective and cannot be sold. Working chips can be sold at a price  and the chip market is highly competitive.

（a）Calculate the derivative of profits with respect to  and its sign.

（b）Calculate the derivative of output with respect to and its sign.

（c）Suppose that there are  identical chip producers, let  be the demand function, and be the competitive equilibrium price. Calculate  and its sign.

答：（a）廠商的利潤最大化問題為（其中和是外生的）：

根據包絡定理可知：

（b）廠商利潤最大化的一階條件為：

上式兩邊關于求導得到：

整理得到（最后的不等號成立是因為邊際成本遞增）：

（c）對于均衡價格，市場的總供給為，由于該行業中有個相同的廠商，所以每個廠商的供給為

，再由廠商利潤最大化的一階條件得到：

上式兩邊關于α求導得到：

從而得到：

上式中，最后一個不等號成立是因為廠商邊際成本遞增和小于零的緣故。

10．假設一廠商在其產出市場和要素市場上是競爭性行為。假定每個投入的價格均上升，且令為要素價格的增加。在什么條件下，會使利潤最大化的產出減少？

Suppose that a firm behaves competitively in its output market and its factor market.Suppose the price of all inputs increase, and let  be the increase in factor prices . Under what conditions will the profit maximizing output decrease?

答：劣質要素是指產出的增加引起投入減少的要素，即。設供給函數為：。對上式進行全微分得到：

第一個等式由定義可得，第二個等式使用了替代距陣的對稱性，第三個使用了連鎖法則和無條件要素需求函數和條件要素需求函數滿足的結論。右邊最后一個等式表明，如果沒有劣質要素時，廠商的產出將下降。

11．一個廠商使用4種投入來生產1種產出。生產函數是：

（a）當要素價格是時，生產1單位產出的條件要素需求向量是什么？

（b）成本函數是什么？

（c）這項技術顯示出什么樣的規模報酬？

（d）另一個廠商的生產函數為。當價格時，生產1單位產出條件要素需求向量是什么？

（e）這個廠商的成本函數是什么？

（f）這項技術代表什么樣的規模報酬？

A firm uses 4 inputs to produce 1 output. The production function is

（a）What is the vector of conditional factor demands to produce 1 unit of output when the factor price vector is

?

（b）What is the cost function?

（c）What kind of returns to scale does this technology exhibit?

（d）Another firm has a production function.What is the vector of conditional factor demands to produce 1 unit of output when prices are ?

（e）What is the cost function for this firm?

（f）What kind of returns to scale does this technology represent?

答：（a）由廠商的生產函數可以看出，第一和第二種要素在生產中采用里昂惕夫技術，是互補的，同樣，第三和第四種要素也是如此。但是兩者彼此又是互相替代的，因此，如果要素價格是，廠商會采用相對便宜的要素，因此選擇第一和第二種要素，而不選擇第三和第四種要素。所以，生產1單位產出的條件要素需求向量是：

（b）因為使用第一和第二種要素的技術與使用第三和第四種要素的技術是互相替代的，另外，使用第一和第二種要素的技術中，由于第一和第二種要素是互補的，所以成本函數為：；同樣的，使用第三和第四種要素的技術的成本為：。因此，成本函數是：

（c），因此，該項技術為規模報酬不變的；

（d）廠商采用的是里昂惕夫技術，其中第一和第二種要素是相互替代的，第三和第四種要素也是相互替代的，因此當價格為時，條件要素需求向量為：

（e）理由與問題（b）相同，可以得出：

（f）， 因此，該項技術也為規模報酬不變的。

12．如果隨著產出增加，對種要素的條件需求下降，即，那么生產要素就被叫做劣質的。

（a）畫圖說明劣質要素是可能的。

（b）說明如果技術是規模報酬不變的，那么不存在劣質要素。

（c）說明如果隨著某個要素價格增加，邊際成本下降，那么該要素一定是劣質的。

A factor of production  is called an inferior if the conditional demand for that factor decreases as output increases; that is, .

（a）Draw a diagram indicating that inferior factors are possible.

（b）Show that if the technology is constant returns to scale,then no factors can be inferior.

（c）Show that if marginal cost decreases as the price of some factor increases, then that factor must be inferior.

答：（a）如圖5-3所示。

圖5-3　要素2為劣質生產要素

（b）如果技術是規模報酬不變的，則條件要素需求可寫成，這里是生產1單位產出的條件要素需求。因此，將條件要素需求函數對產出求導得，則不存在劣質要素。

（c）如果隨著某個要素價格增加，邊際成本下降，該假定可以寫成：

又因為：

所以得到：

所以該要素為劣質要素。

13．考慮一個利潤最大化廠商，生產一種在競爭性市場出售的產品。據觀察，當產出物品價格上升時，該廠商要雇傭更多的熟練工人和更少非熟練工人。現在非熟練工人團結起來成功地迫使老板增加了工資。同時假定所有其他價格仍然不變。

（a）該廠商對非熟練工人的需求會發生什么變化？

（b）廠商的產出供給會發生什么變化？

Consider a profit-maximizing firm that produces a good which is sold in a competitive market. It is observed that when the price of the output good rises, the firm hires more skilled workers but fewer unskilled workers. Now the unskilled workers unionize and succeed in getting their wage increased. Assume that all other prices remain constant.

（a）What will happen to the firm’s demand for unskilled workers?

（b）What will happen to the firm’s supply of output?

答：令代表非熟練工人的數量，代表熟練工人的數量，那么廠商的生產函數可以寫作。

（a）由利潤函數的凸性和微分性質可知：

這說明要素需求曲線向下傾斜，所以當工資上升時，廠商對非熟練工人的需求將下降。

（b）已知，又有

因此有，即非熟練工人工資上升時，廠商的產出供給將上升。

14．你對產出變動，成本變動，要素價格變動，以及要素需求水平， =1，…，有一時間序列觀察數據。你如何構造每期的邊際成本的估計？

You have a time series of observations on changes in output, , changes in cost, , changes in factor prices,

, and the levels of factor demands, for =1,…，. How would you construct an estimate of marginal cost,, in each period?

答：對成本函數進行全微分得：

又因為，所以上式可以進一步寫作：

從而得到：

將產出變動、成本變動、要素價格變動代入項，即構造出每期的邊際成本的估計。

15．計算技術的成本函數。

Compute the cost function for the technology

解：可以發現要素與要素和是相互替代的。

根據函數的線性性，可以運用或和的一個組合來生產。根據里昂惕夫函數的性質，當用和來生產時，必須用3單位的和來生產1單位的。因而，如果使用1單位的的成本小于和都使用1單位時的成本，則只使用。反過來說也是這個道理。條件要素需求可以寫成：

如果，那么具有及（或）的任一組合都使成本最小化。

成本方程為。

16．對下邊每個成本函數，判斷它是否是一次齊次的、單調的、凹的和／或連續的。如果是，求出相關聯的生產函數。

（a）

（b）

（c）

（d）

（e）

For each cost function determine if it is homogeneous of degree one,monotonic, concave, and/or continuous. If it is, derive the associated production function.

（a）

（b）

（c）

（d）

（e）

答：（a）驗證一次齊次性：

所以不是一次齊次性的；

所以成本函數是單調遞增的。

驗證凹性：

成本函數的海賽矩陣為：

因為且，故成本函數非凹。

成本函數的連續性易知。

（b）驗證齊次性：

為一次齊次性的；

驗證單調性：

所以成本函數是單調遞增的。

驗證凹性：

成本函數的海賽矩陣為：

滿足凹性和連續性。

（c）一次齊次性：

故非一次齊次性；

單調性：

當且只有當時，上式為正。

由于，故非單調。

凹性：

，只有當時，該式為負。

，所以不滿足凹性，但滿足連續性。

（d）一次齊次性：

滿足一次齊次性；

單調性：

因此當且僅當成立時生產函數才滿足單調性。

凹性：

滿足凸性，也滿足連續性。

（e）一次齊次性：

滿足一次齊次性；

單調性：，，單調遞增；

凹性： 

滿足凹性；

連續性：除點外，均是連續的。 

17．一個廠商的投入要求集為。

（a）生產函數是什么？

（b）條件要素需求是什么？

（c）成本函數是什么？

A firm has an input requirement set given by .

（a）What is the production function?

（b）What are the conditional factor demands?

（c）What is the cost function?

答：（a）生產函數為：。

（b）最小化成本函數得到：

將約束條件代入目標函數得到：

一階條件為：

注意：這一函數恰似一個線性函數，只是和的線性組合將生產而不是。所以，如果相對便宜，將只使用而不使用。

因此，條件要素需求是：

（c）成本函數為：