第4章　成本最小化

1．嚴格證明利潤最大化意味著成本最小化。

Prove rigorously that profit maximization implies cost minimization.

證明：令為價格下利潤最大化的一個投入向量。這意味著，對于所有可允許的，必須滿足

。

假設對于產出，沒有使成本最小化，即存在一個向量滿足與w，因而在下所取得的利潤必須大于在下所取得的利潤：

這與使利潤最大化的假設相矛盾，故假設不成立，因此利潤最大化意味著成本最小化。

2．使用庫恩-塔克定理得出即使最優解涉及邊界解時也是正確的成本最小化條件。

　 Use the Kuhn-Tucker theorem to derive conditions for cost minimization that are valid even if the optimal solution involves a boundary solution.

答：互補—松弛條件為：

當和成立時，上式就隱含著：

這個不等式意味著用代替時，可以降低成本，然而由于企業已經用完了它可以得到的的所有數量，所以繼續降低成本是不可能的。

3．一個廠商有兩個車間，它們各自的成本函數為和。該廠商的成本函數是什么？

　 A firm has two plants with cost functions  and .What is the cost function for the firm?

解：廠商的成本最小化問題為：

從約束條件中解出的表達式，然后代入目標函數式中得到：

下面分情況討論：

（1）如果，那么的最優值為1，此時的成本函數為。

（2）如果，那么的最優值為，此時的成本函數為。

4．一個廠商有兩個車間。一個車間根據生產函數來生產產出，另一個廠車間的生產函數是

。該技術的成本函數是什么？

　 A firm has two plants. One plant produces output according to the production function .The other plant has a production function .What is the cost function for this technology?

答：考慮柯布-道格拉斯技術的成本函數的成本最小化問題（以第一個車間的生產函數為例）：

將上述問題轉化為無約束問題：

一階條件為：

得到要素需求函數：

將要素需求函數代入到目標函數中：

其中，。

因此第一個車間的成本函數為：，則第二個車間的成本函數為：，其中，

，。

如果廠商采用成本最低的生產方法進行生產，則該廠商的生產成本函數為：

即讓平均成本低的工廠生產所有的產量。

5．假定廠商有兩種可能的方式來生產產出。方式a：使用單位的物品1和單位的物品2來生產1單位的產出。方式b：使用單位的物品1和單位的物品2來生產1單位的產出。要素只能以這些固定比例使用。如果要素價格是，對這兩種要素的需求是什么？該技術的成本函數是什么？對什么樣的要素價格，成本函數是不可微的？

　 Suppose that the firm has two possible activities to produce output. Activity a uses units of good 1 and  units of good 2 to produce 1 unit of output. Activity b uses  units of good 1 and  units of good 2 to produce 1 unit of output. Factors can only be used in these fixed proportions. If the factor prices are , what are the demands for the two factors? What is the cost function for this technology? For what factor prices is the cost function not differentiable?

答：生產函數為：

方式a：

方式b：

用方式a生產1單位產品的成本是，用方式b生產1單位產品的成本是。這樣如果廠商計劃生產單位的產量，那么它會使用成本較低的那種生產方式生產全部產品，從而廠商的成本函數為：

要素1的需求函數由下式給出：

要素2的需求函數由下式給出：

當時，成本函數將是不可微的。

6．一個廠商有兩個車間，成本函數分別是和。生產的產出，它的成本是多少？

　 A firm has two plants with cost functions  and . What is its cost of producing an output y?

解：企業的成本最小化問題為：

這個問題的拉格朗日函數為：

這里、、都是非負的。庫恩-塔克條件為：

下面分情況討論：

①最優解為內部解的情況：此時、都等于零，這就意味著：

大于零又意味著，從而解得：

②最優解為角解的情況：此時若，那么：

可見角解優于內部解。若時，，故這種情況舍去。

綜上可知，廠商的成本函數為：

7．表4-1顯示了對一個廠商的要素需求、，要素價格、和產出的兩組觀測值。表中所描述的行為與成本最小化行為一致嗎？

　 Table 4-1 shows two observations on factor demand , , factor prices, , , and output,  for a firm. Is the behavior depicted in this table consistent with cost-minimizing behavior?

表4-1　要素的價格，投入數量和產出數量的關系

答：表中所描述的行為與成本最小化行為不一致。理由如下：成本最小化行為意味著成本最小化弱公理成立，即：

現在生產100單位產出花費的成本為：，但在同一價格下，生產110單位的產出花費的成本僅為：

這就和成本最小化弱公理相矛盾.

8．一個廠商有生產函數。如果在時，生產的最小成本等于4，等于什么？

A firm has a production function .If the minimum cost of production at is equal to 4, what is

 equal to?

解：企業的成本最小化問題：

　  （1）

將代入目標函數，得出無約束最小化問題：

　 （2）

其一階條件是：

  （3）

得到：

  （4）

同理有：

  （5）

將（4）式和（5）式代入目標函數中，得到成本函數為: ，根據已知條件最小成本為4，即：，解得：