第3篇　級　數

第1部分　數項級數和反常積分

第9章　數項級數

9.1　復習筆記

一、上極限和下極限

1．定義

對于一個有界數列．去掉它的最初k項以后，剩下來的仍舊是一個有界數列，記這個數列的上確界為下確界為亦即

可見令k＝1，2，3，…，得到一列和一列數列單調減少，單調增加，所以這兩個數列的極限都存在．稱的極限是的上極限，設它是H．的極限是的下極限，設它是h．并分別將上極限和下極限記為即

由得h≤H．

2．重要性質

（1）設則

①當H有限時，對于H的任何ε鄰域（H－ε，H＋ε），在數列中有無窮多個項屬于這個鄰域，而在

（H＋ε，＋∞）中最多只有有限多個項（包括一項也沒有）（圖9-1）；

圖9-1

②當時，對任何數N＞0，在中必有無窮多個項大于N；

③當時，數列以為極限．

（2）設則

①當h為有限時，對h的任何ε鄰域（h－ε，h＋ε），在數列中有無窮多個項屬于這個鄰域，而最多只有有限多個項小于h－ε（包括一項也沒有）；

②當h＝－∞時，對任何數N＞0，在數列中有無窮多個項小于－N；

③當h＝＋∞時，數列的極限為＋∞．

（3）設H為的上極限，那么，在中必存在一個子列，其極限為H，并且H是中所有收斂子列的極限中的最大值．設h為的下極限，那么，在中必存在一個子列，其極限為h，并且h是中所有收斂子列的極限中的最小值．

（4）（A有限或無窮大）的充要條件為

二、級數的收斂性及其基本性質

1．定義

一系列無窮多個數寫成和式就稱為無窮級數，記為令

稱為級數的n次部分和（簡稱部分和），稱數列為級數的部分和數列．

若級數的部分和數列收斂于有限值S，即則稱級數收斂，記為并稱此值S為級數的和數．若部分和數列發散，則稱級數發散．當級數收斂時，稱

為級數的余和．

2．收斂級數性質

（1）若級數收斂，a為任一常數，則亦收斂，并且有

（2）若兩個級數都收斂，則也收斂，并且有

（3）一個收斂級數對其項任意加括號后所成級數

仍收斂，且其和不變．

（4）（收斂的必要條件）若級數收斂，則，即收斂級數的一般項必趨于0．

3．柯西收斂原理

級數收斂的充要條件是：對任意給定的正數ε，總存在N，使得當n＞N時，對于任意的正整數

p＝1，2，3，…，都成立著

也可以表述為：對任意給定的正數ε，總存在N，使得對于任何兩個大于N的正整數m及n（不妨假設n＜m），都成立

其中為級數的部分和．

三、正項級數

1．正項級數收斂的基本定理

如果正項級數的部分和數列具有上界，則此級數收斂，如果正項級數的部分和數列無上界，則此級數發散到＋∞．

2．正項級數收斂的判別法

（1）比較判別法

若兩個正項級數和，存在常數c＞0，使或者存在N，當n＞N時，成立以上關系式，則

①當級數收斂時，級數收斂；

②當級數發散時，級數發散．

（2）比較判別法的極限形式

給定兩正項級數和，那么這兩個級數同時收斂或同時發散．

（3）柯西判別法

設為正項級數．若存在N，當n＞N時，有（q為某確定的常數），則級數收斂．若存在N，當n＞N時，有則級數發散．

（4）柯西判別法的極限形式

對于正項級數，設那么，當r＜1時此級數必為收斂，當r＞1時此級數發散，而當r＝1時此級數的收斂性需進一步判定．

（5）達朗貝爾判別法

設為正項級數，若存在N，當n＞N時，有（q為確定的數），則級數收斂．若存在N，當n＞N時，有則級數發散．

（6）達朗貝爾判別法的極限形式

對于正項級數當時，級數收斂．當時，級

數發散，而當或者時，級數的斂散性需進一步判定．

（7）柯西積分判別法

對于正項級數，設為單調減少的數列，作一個連續的單調減少的正值函數f（x）（x＞0），使得當x等于正整數n時，其函數值恰為亦即那么，級數與數列這里同為收斂或同為發散．

四、任意項級數

1．絕對收斂和條件收斂

（1）定義

對于級數如果其每一項加上絕對值以后所組成的正項級數收斂，則稱級數為絕對收斂．如果發散但卻是收斂的，則稱級數為條件收斂．

（2）絕對收斂和條件收斂的關系

絕對收斂級數必為條件收斂級數，但反之不然．

2．交錯級數

（1）定義

稱正負項相間的級數，也就是形如

的級數，其中，為交錯級數．

（2）萊布尼茨定理

如果一個交錯級數的項滿足以下兩個條件：

①

②

則①級數收斂；

②它的余和r_n的符號與余和第一項的符號相同，并且余和的絕對值不超過余和的第一項的絕對值

3．阿貝爾（Abel）判別法和狄利克雷判別法

（1）阿貝爾變換

考慮形如的級數．對下面的和數

阿貝爾給出了一個初等的變換．設

則

就是阿貝爾變換．

（2）阿貝爾引理

如果

①單調（增加或減少）；

②有界

則

（3）阿貝爾引理的推論

如果，那么

（4）阿貝爾判別法

如果

①級數收斂；

②數列{a_n}單調有界，

則級數收斂．

（5）狄利克雷判別法

如果

①級數的部分和B_n有界，

②數列{a_n}單調趨于零，

則級數收斂．

五、絕對收斂級數和條件收斂級數的性質

1．絕對收斂級數和條件收斂級數的本質差別

對于級數，將它的所有正項保留而將負項換為零，組成一個級數，記為．將它的所有負項變號（乘上因子－1）而將正項換為零，也組成一個正項級數，記為，即

那么

（1）若級數絕對收斂，則級數和都收斂；

（2）若級數條件收斂，則級數和都發散．

2．絕對收斂級數的更序級數性質

絕對收斂級數的更序級數仍為絕對收斂，且其和相同其中，一個級數的更序級數就是把它的項重新排列后所得到的級數．

3．黎曼定理

若級數條件收斂，那么，總可以適當地更換原來級數的次序而組成一個級數，使它收斂于任何預先給定的數S（包括的情形）．

4．柯西定理

若級數和都絕對收斂，其和分別為U和V，則它們各項之積按照任何方法排列所構成的級數也絕對收斂，且其和為UV．

5．梅爾騰斯（Mertens）定理

若級數和中，僅有一個是絕對收斂，其和為A，另一個是條件收斂，其和為B，則它們的柯西乘積組成的級數仍收斂，其和為AB．

六、無窮乘積

1．定義

對于一個數列將這一列數連乘起來，用記號表示如下

，稱為無窮乘積，如果將數列{p_n}中前n個數連乘起來，得到

稱為部分乘積．令n＝1，2，3，…，就得到部分乘積的序列對于這個序列{p_n}，只可能有下面三種情形：

（1）存在非零的有限極限

（2）極限為零：

（3）發散，即不趨向任何有窮極限．

在第（1）種情形下，稱無限乘積為收斂的，并稱極限值P為這個乘積的值，記為

而在第（2），（3）種情形時稱此無窮乘積為發散的．在一個無窮乘積中，只要有一個因數為零，那么就得部分乘積序列的極限P＝0．

2．收斂無窮乘積的性質

（1）若無窮乘積收斂，記

稱它為余乘積，則

（2）收斂的必要條件

若無窮乘積收斂，則

（3）若無窮乘積收斂，那么，任意增加有限個異于零的項或者任意刪去有限個項，而不改變其原有的次序，所得無窮乘積仍收斂．

3．無窮乘積收斂的判別法

（1）無窮乘積收斂的充要條件是級數收斂，并且當這一條件滿足時，若L是級數的和數，那么有

（2）具有零值（即發散于零）的充要條件為

（3）無窮乘積的斂散性

令

①若對充分大的n，有

那么無窮乘積

收斂的充要條件為級數收斂．

②若發散，則具有零值．

③若級數

同時收斂，則無窮乘積收斂．

4．無窮乘積絕對收斂

對于無窮乘積，當級數絕對收斂時，稱無窮乘積是絕對收斂的．并且絕對收斂乘積具有可交換性，而非絕對收斂乘積不具有可交換性．