第3章　函數的極限與連續性

1．設a，b，A均不為零的有限數，證明： 的充分必要條件是．[華中師范大學研]

證明：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  ①

當

先證必要性：

再證充分性：

由①式有

2．設f（x）在上有定義且在每一點處函數的極限存在．求證：f（x）在上有界．[哈爾濱工業大學研]

證明：由于極限存在，設取ε＝1，則存在>0，使當時有．

令

　　　　　　　　　　　 ①

即存在使①式成立．于是是上的一個開覆蓋，由有限覆蓋定理存在有限個，不失一般設為也構成的一個開覆蓋，且

　　　　　　　　　　②

再令，則

3．設函數f（x）定義在上，f（x）在每一個有限區間（a，b）內有界，并滿足．證明：．[江蘇大學研]

證明：由于，所以對任意的ε＞0，存在，使得當時，有

于是有

將這些式子相加有

由于f（x）在上有界，即存在C＞0，使得當時，有，從而，于是

又因為，所以存在，使得當時，有

于是取，則當x＞M時，有

即．

4．設函數f（x）在點x₀的鄰域，（點x₀可能例外）有定義，且對任意的點列

都成立，試證明：．[中科院武漢物理與數學研究所研]

證明：反證法．設x₀到I的邊界的距離為d，若，則存在，對任意的存在

使得

取，則存在，滿足．再取．則存在

滿足．

依此類推，取，則存在，滿足．

這樣就得到點列，且，但

這與題設條件矛盾，命題得證．

5．求．[華南師范大學研]

解：由等價無窮小量知

由微分中值定理知

其中位于或之間．所以

6．證明：在[a，＋∞]（其中a＞0）上一致連續，在（0，1）上不一致連續．[中國科學院研]

證明：（1）對，取，當時，

．

由一致連續的定義知，在[a，＋∞]（a＞0）中一致連續．

在（0，1）內取，取，對任意δ＞0，只要n充分大總有

所以f（x）在（0，1）上不一致連續．

7．設f（x）和g（x）為連續函數，試證明也為連續函數，其中max表示取最大值。[北京工業大學研]

證明：由于，所以只要證明為連續函數即可。因為f（x）和g（x）為連續函數，所以對任意的，任意的ε>0，存在δ>0，使得當時，有

從而當時，由三角不等式得

所以在處連續，再由的任意性知，為連續函數。于是也為連續函數。

8．設f（x）是在區間[a，＋∞）上的有界連續函數，并且對任意實數c，方程f（x）＝c至多只有有限個解，證明：存在。[華東師范大學研]

證明：由于f（x）在區間[a＋，∞）上有界，所以數列{f（n）}有界，由致密性定理知存在子列收斂，記。下證，反證法。假設，則存在及單調遞增數列，使得

。由于是有界的，所以由致密性定理知存在子列收斂，并記。從而，不妨設B>A。由極限的保號性知，存在K>0，使得

于是由連續函數的介值性知有無限多個解，矛盾。

9．設f（x）在有限區間（a，b）上有定義，試證明f(x)在（a，b）上一致連續的充要條件是，若是（a，b）中的收斂列，則也是收斂列。[中山大學研]

證明：必要性  因為f（x）在（a，b）上一致連續，所以對任意的ε>0，存在δ>0，使得

又因為是（a，b）中的收斂列，所以由Cauchy收斂準則知存在N>0，使得，故有

從而由Cauchy收斂準則知是收斂列。

充分性  可用反證法。若f（x）在（a，b）上不一致連續，則存在，對任意的，有

，雖然，但。注意到（a，b）是有限區間，因此中存在收斂的子序列。因為（當n→∞時），故中相應的子序列也收斂于相同的極限。從而穿插之后，序列

也收斂，為Cauchy列。但其象序列

恒有，不是Cauchy列，與已知條件矛盾。