第6章　導(dǎo)數(shù)和微分

1．設(shè)f（x）在[－1，1]上有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，f（0）＝0，令

，

證明：

（1）g（x）在x＝0處連續(xù)且可導(dǎo)，并計(jì)算g＇（0）；

（2）g＇（0）在x＝0處也連續(xù)。[南京大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)、南京理工大學(xué)、中北大學(xué)研、上海理工大學(xué)、華東師范大學(xué)2006研]

證明：（1）由于

并由L’Hospital法則知

所以，g（x）在x＝0處連續(xù)且可導(dǎo)，

（2）由于

所以由L’Hospital法則知

故g＇（x）在x＝0處也連續(xù)。

2．問(wèn)函數(shù)，在x＝0處最高能有多少階導(dǎo)數(shù)？這個(gè)導(dǎo)數(shù)值是多少，并給出證明。[中北大學(xué)研]

解：當(dāng)x≠0時(shí)，有

所以

但不存在，故在x＝0處，最高能有二階導(dǎo)數(shù)，且

3．設(shè)f（x）是定義在R上的函數(shù)，且對(duì)任意的，都有。若f＇（0）＝1，證明：對(duì)任意的x∈R，都有。[江蘇大學(xué)2006研]

證明：在中令，有。又由知，f（x）不恒為零，故有f（0）＝1。由導(dǎo)數(shù)的定義和可得

4．設(shè)，求．[華南理工大學(xué)、南京師范大學(xué)研]

解：對(duì)方程兩邊關(guān)于x求導(dǎo)可得，所以對(duì)上述的一階導(dǎo)數(shù)表達(dá)式

兩邊再關(guān)于x求導(dǎo)得，代入的表達(dá)式，得。

5．設(shè)y＝y(tǒng)（x）由等式確定，求．[中國(guó)地質(zhì)大學(xué)2006研]

解：，因?yàn)榉匠探M中第二個(gè)方程是y關(guān)于t的一個(gè)隱函數(shù)，則對(duì)第二個(gè)方程關(guān)于t求導(dǎo)可得，所以

下求．

當(dāng)t＝0時(shí)，易知y（0）＝－1，，于是

故有．

6．設(shè)求[華東師范大學(xué)研]

解：

k為奇數(shù)時(shí)，k為偶數(shù)時(shí)，．

7．求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f'（x），討論f'（x）的連續(xù)性（若有間斷點(diǎn)，須指出其類別）．[內(nèi)蒙古大學(xué)研]

解：當(dāng)x≠0時(shí)

不存在．

不存在，因此x＝0是f'（x）的惟一間斷點(diǎn)，它是第二類間斷點(diǎn)．

8．橢圓上任意兩點(diǎn)聯(lián)結(jié)成的線段，稱為此橢圓的弦．證明：橢圖的任意兩條平行弦之中點(diǎn)聯(lián)線必經(jīng)過(guò)原點(diǎn)（即橢圓中心）．[上海化工學(xué)院研]

證明：設(shè)兩條平行弦分別為AB與CD，這4點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

（1）若AB與CD都平行于x軸（或y軸），則結(jié)論顯然成立．

（2）若AB、CD的斜率都是k∈（0，＋∞），則

兩弦AB與CD兩弦中點(diǎn)分別為．再設(shè)EO和FO的斜率分別為，則

①

由于在橢圓上，所以

②

　 ③

將②，③代入①得

　  ④

類似可得

  ⑤

由④，⑤得，從而E、O、F在一條直線上，即兩弦中點(diǎn)聯(lián)線過(guò)原點(diǎn)．