第5章　連續函數和單調函數

1．設f（x）在[a，b]上連續，對任意的x∈[a，b]，存在y∈[a，b]，使，證明：存在，使得。[浙江大學研]

證明：反證法。若f（x）≠0，不妨設f（x）>0，又因為f（x）在[a，b]上連續，所以可取到最大值與最小值。設，當時，存在，使，這與是最小值矛盾。

2．設f（x）在[a，b]上連續，f（a）＜f（b）．又設對一切存在，用g（x）表示這個極限值，試證：存在c∈（a，b）使g（c）≥0．[南開大學研]

證明：用反證法．若

取，使

對該，當時有

當

故f在x附近單調減，并由x的任取性知f（x）在[a，b]上單調遞減，特別有f（a）≥f（b）．這與假設矛盾．存在c ∈（a，b）使g（c）≥0．

3．設f（x）在[a，a＋2α]上連續，證明：存在x∈[a，a＋α]，使得

　 ①[北京大學研]

證明：令

則 ②

③

（1）若g（a）＝0，則

則①式成立．

（2）若g（a＋α）＝0，則

①式也成立．

（3）若，則由g（x）連續及連續函數的零值定理，也存在使，從而①式仍然成立．

4．設連續函數y＝f（x），x∈[a，b]，其值域，則一定存在使[復旦大學研]

證明：

方法一：

  ①

用反證法．若，則分四種可情況討論．

若f（x）＞x，x∈[a，b]，那么f（b）＞b．這與①式矛盾．

若f（x）＜x，x∈[a，b]，那么f（a）＜a，也與①式矛盾．

若存在，使

②

則令，由②知，則存在，使，即，這與假設矛盾．

若存在使，類似可得矛盾．

從而得證存在，使．

方法二：，

若其中有一等號成立，命題得證．

若f（a）＞a，f（b）＜b，令F（x）＝f（x）－x在[a，b]上連續，

則F（a）＝f（a）－a＞0；F（b）＝f（b）－b＜0

由連續函數的零值定理，，得，即．

5．設，試證明f（x）在[2，＋∞）內有無窮多個零點．[南京大學研]

證明：由于，所以在k充分大時恒正。在k充分大時恒負。又由f（x）的連續性知f（x）在區間內有零點，故f(x)在[2，＋∞）內有無窮多個零點．

6．函數f（x）在上連續，且，證明：f（x）在上有最大值或最小值。[北京工業大學、華東師范大學研]

證明：若f（x）在上恒等于A，則結論自動成立。

若存在使得，不妨設的證明完全類似）。因為，由極限的保號性知，存在，使得。由于f（x）在[－M，M]上連續，所以f（x）在[－M，M]上取到最大值且。從而有，即f（x）在上有最大值．

7．證明：函數在（0，1）內不一致連續，但在[1，2]與[2，＋∞）上均一致連續。[中北大學研]

證明：取。則。顯然，但

所以在（0，1）內不一致連續。

由于f（x）在[1，2]上連續，故f（x）在[1，2]上一致連續。由于，所以對任意的ε>0，存在A>2，使得當時，有

由于f（x）在[2，A＋1]上連續，故f（x）在[2，A＋1]上一致連續。從而對上述的ε>0，存在0＜δ＜1，使得當時，有

結合上面兩種情況，則當時，有

即f（x）在[2，＋∞）上一致連續。

8．設f（x）在上一致連續，且對任意的。證明：[華東師范大學2006研]

證明：因為f（x）在上一致連續，所以對任意的ε>0，存在δ>0，使得

對于上述的δ>0，由知，存在N>0，使得

對任意的x>Nδ，存在使得，故有

即．

9．設f（x）在區間X上有定義，試證明：f（x）在區間X上一致連續在區間X任意兩個數列，當時，有．[浙江大學研]

證明：（1）必要性。若f（x）在區間X上一致連續，則對任意的ε，存在δ，對任意的，只要，都有。取，因為，對上述任意的ε，有δ＝ε，存在N，當n>N時有，由f（x）的一致連續性定義，則有．

（2）充分性。反證法。假設存在，對任意的n∈N，存在，使得

，矛盾。