第7章　微分學基本定理及應用

1．函數f（t），g（t）在[a，b]上可微，且g'（t）≠0，，證明：必存在c∈[a，b]，使得成立．[中國科技大學研]

證明：由g'（x）≠0知g（b）≠g（a）．

F（x）在[a，b]上連續，在（a，b）內可導．由lagrange中值定理，使

g'（c）≠0即有

2．設f（x）在[a，b]上連續，在（a，b）內有二階導數，試證：存在c∈（a，b），使

[南開大學研]

證明：令  ①

由拉格朗日中值定理有

 

　 ②

其中

另一方面，由①式

　  　　　　　　　　  ③

將③式代入②，即得證．

3．（1）設f（x）在（0，＋∞）內二次可微，分別為內的上確界，證明：

（2）設f"（x）在（0，＋∞）上有界，且證明：[北京大學，哈爾濱電工學院研]

證明：（1）由泰勒公式有

解得 

若取則

再由x的任意性，有

　 ①

（2）設因故對當時，

  ②

由上面（1）知，在上由①，②有

類似可證在上有，

4．用微分中值定理證明：

當s＞0時，[武漢理工大學研]

證明：令則

分別在上對f（x）應用拉格朗日中值定理，有

所以即是嚴格單調遞增函數．

代入上面n＋1個式子得

將上面前n＋1個式子的左邊相加得

  ①

再將上面前n個式子右邊相加得

　  ②

由①，②即證．

5．設f（x）在（－∞，＋∞）上具有二階導數，且又存在一點使試證明：方程在上有且只有兩個實根．[上海交通大學、浙江大學研]

證明：由于f（x）在（－∞，∞）上有二階導數，所以在（－∞，＋∞）上連續．

由于，因此由保號性必存在c＞0，使當x＞c時，

  ①

再在[c，x]上運用拉格朗日中值定理，可得

由①式，

當x→＋∞，上式右端趨于＋∞，因為f（＋∞）＞0．又因此方程在內至少有一個實根．

同理由類似可證方程f（x）＝0在內至少有一個實根，從而方程f（x）＝0在（－∞，＋∞）內至少有兩個實根．

再證方程f（x）＝0在（－∞，＋∞）內實根個數不可能超過兩個，用反證法．

若方程f（x）＝0有三個（或以上）實根設為.在上應用羅爾定理有

在上再用羅爾定理有，這與的假設矛盾，故得證．

6．證明：當x≥0時，存在θ（x）∈（0，1），使得

并求和[中山大學2006研]

解：由于，則由Lagrange中值定理知當x≥0時，存在θ（x）∈（0，1），使得

由這個等式可得。故有

7．設函數f在[a，b]上是可微函數，且值域仍在[a，b]內。若，設為[a，b]內任意一點，定義數列為，證明數列收斂于[a，b]內某一點d，且

．[南京理工大學2006研]

證明：由中值定理知，從而由Cauchy收斂定理易知收斂于[a，b]內某一點d。于是

又由三角不等式知，所以，從而可

．

8．設函數f在（0，1]上連續，在（0，1]上可導且存在正常數α∈（0，1），使得存在。證明：f在（0，1]上一致連續。[北京師范大學研]

證明：因為存在，所以，故對任意的ε>0，存在δ>0，當0＜x＜δ時，有。從而當時，由Cauchy中值定理知

故由Cauchy收斂準則知存在，并定義，則f在[0，1]上連續，所以f在[0，1]上一致連續，故f在（0，1]上一致連續。

9．求．[華東師范大學研]

解：由等價無窮小量和L’Hospital法則知

故有

10．設函數f（x）在區問（0，＋∞）內有二階導函數，，并且當x∈（0，＋∞）時，有。證明：．[北京交通大學研]

證明：要證明，即要證明對任意的ε>0，存在A>0，當x>A時有。利用Taylor公式，對任意的h>0，有

即，從而

對任意的ε>0，首先可取h>0充分小，使得h＜ε，然后將h固定。因為，所以存在A>0，當x>A時，有

從而

11．將在x＝0展開成Taylor級數。[大連理工大學2006研]

證明：因為

所以，n＝1，2，…，根據Taylor展開式可得