第4章　函數極限和連續性

一、選擇題

下列函數在開區間（0，1）內一致連續的是（　　）．[天津大學研]

【答案】C

【解析】因為若f（x）在開區間（a，b）上連續，則f（x）在（a，b）上一致連續都存在．或在閉區向[0，1]上連續，因而一致收斂．因此答案選C．

二、解答題

1．計算下列各題：

[北京農業大學、南京農業大學、華南農業大學、浙江農業大學、華中農業大學研]

解：

2．已知，求a和b．[武漢大學2006研]

解：，因為，要使極限存在且不為無窮大，則有，所以a＋b＋1＝0．再利用洛必達（L’Hospital）法則有，所以a＋5＝0，則a＝－5，b＝4．

3．用Heine定理及數列極限和的運算性質證明函數極限和的運算性質：若極限，

，則存在且．[天津大學研]

證明：因為極限，由Heine定理知，對任意的，有

于是

再由Heine定理可得

．

4．求．[南京理工大學2006研]

解：由于，易知

由等價無窮小量知

故由夾逼法知

5．求：

（1）．

（2）．[浙江師范大學2004、2006研]

解：（1），，所以

同理對于（2），有．

6．設，n為自然數，問在什么條件下，下列成立：（1）在x＝0處連續？（2）在x＝0處可導？（3）在x＝0處導函數連續？[中國地質大學研]

解：（1）若f（x）在x＝0處連續，則，所以只要n＞0即可（利用有界量乘以無窮小量仍為無窮小量）．

（2），要使上面的極限存在必須n＞1，且．道理同上．

（3）當x≠0時，要使在x＝0處連續，必須，所以n＞2．

7．設函數f（x）是區間上的單調函數，定義g（x）＝f（x＋0）。證明：函數g（x）在區間上每一點都右連續。[北京交通大學、江蘇大學2006研]

證明：不妨設f（x）單調遞增。對任意的，有，所以對任意的ε>0，存在δ>0，使得。對任意的，由f（x）單調遞增知

故。同樣由f（x）單調遞增知

從而，則函數g（x）在區間上每一點都右連續。

8．（1）設數列滿足。定義集合

Z為整數集，N為自然數集。求證對任何實數b，存在數列使得

（2）試證一個非常數的周期連續函數必有最小正周期。[西南師范大學研、南開大學2006研]

證明：（1）由于，且，所以對任意的k∈N，存在使得，從而存在使得。記，則，故。

（2）方法一：反證法。假設一個周期為T的連續函數f（x）沒有最小正周期。先證明f（x）的所有正周期沒有正的下界。事實上若f（x）的所有正周期有正的下界，記下確界為a>0，則存在單調遞減的非負數列使得都是f（x）的周期。從而由f（x）的連續性知

，故a是f（x）的周期，這與f（x）沒有最小正周期矛盾。

因此存在單調遞減的非負數列使得都是f（x）的周期。由（1）的結論知對任何實數b，存在數列使得，從而由函數的連續性可得

這與f（x）是非常數函數矛盾，得證。

方法二：令

E＝{T>0為f（x）的正周期}

則E非空且有下界。由確界原理可記.

證是f（x）的周期。反證法。否則必有，從而存在，使得利用f（x）的連續性，對任意的有

這說明是f（x）的周期，與反證法假設不符合。

最后證明。顯然有，要證。若，則，從而存在，使得

。由此可推出對任意的，有f(x)＝ff(0)，仍用反證法。

事實上，若存在，而。由f（x）在點處連續可知存在，使得。在上述中取，則總有k∈N，使

，此時即有

顯然矛盾。但f（x）在上恒為常數又與題設條件不符合，故必定有.