第3章　映射與實(shí)函數(shù)

一、選擇題

1．有下列幾個(gè)命題

（1）任何周期函數(shù)一定存在最小正周期．

（2）[x]是周期函數(shù)．

（3）不是周期函數(shù)．

（4）xcosx不是周期函數(shù)．

其中正確的命題有（　　）。[復(fù)旦大學(xué)研]

A．1個(gè)　 

B．2個(gè)　 

C．3個(gè)　 

D．4個(gè)

【答案】B

【解析】（1）錯(cuò)．比如f（x）＝0．那么任何正實(shí)數(shù)都是它的周期，而無最小正實(shí)數(shù)．

（2）錯(cuò)．設(shè)的周期為T＞0，并設(shè)

當(dāng)m＝0時(shí)，則T＝1－a，其中0＜a＜1．那么

這與T為周期矛盾．∴m ≠0．

當(dāng)m＞0時(shí)． ，也矛盾

∴[x]不是周期函數(shù)．

（3）對．∵若f（x）是定義域D上周期函數(shù)，那么存在函數(shù)T，使都有．這必須有．而本題定義域，若是周期函數(shù)，則0∈D，必須，但故不是周期函數(shù)．

（4）對．用反證法，設(shè)的周期為T＞0，則

即證xcosx不是周期函數(shù)．

二、解答題

1．設(shè)f（x）在[a，b]上是連續(xù)函數(shù)，且f（x）在[a，b]內(nèi)沒有極值點(diǎn)，則f（x）是[a，b]上嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)。[中南大學(xué)研]

證明：對任意的，必有。若，則在內(nèi)有極值點(diǎn)，矛盾。不妨設(shè)f（a）＜f（b），則對任意的，有。若，由f（x）在內(nèi)沒有極值點(diǎn)知，從而f（x）在[a，b]內(nèi)有極小值點(diǎn)，矛盾。

2．設(shè)a>0，f（x）在[a，b]上是連續(xù)的偶函數(shù)，則．[中科院數(shù)學(xué)研究所2006研]

證明：令x＝－t，則

所以有

再由f（x）的性質(zhì)，可以得到結(jié)論。

3．設(shè)．并設(shè)次數(shù)不超過n－1次的代數(shù)多項(xiàng)式，滿足條件：

　 

試證：．[中國科學(xué)院研]

證明：由假設(shè)①式，可令

　 

其中

或

　 

其中

（1）當(dāng)時(shí)，由③式知上為增函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)

（2）當(dāng)時(shí)，由③式知上是減函數(shù)，時(shí)有

4．設(shè)函數(shù)f（x）定義在區(qū)間I上，如果對于任何，及）．恒有

證明：在區(qū)間x的任何閉子區(qū)間上f（x）有界．[華中師范大學(xué)研]

證明：，則存在．使

由①式有

 

其中，那么

由①，②兩式可知，再由M的定義，可知

若令此即證f（x）在上有界．

5．設(shè)f（x）在[a,b]上連續(xù)，對任意的x∈[a，b]，定義，證明：m（x）在[a，b]上連續(xù)。[大連理工大學(xué)研]

證明：對任意的由下確界的定義（上題），可得必存在使得于是當(dāng)時(shí)，必有

所以則m（x）在[a，b]上連續(xù)。

6．設(shè)f（x）連續(xù)，，證明：[南京航空航天大學(xué)研]

證明：令g（x）＝u，因?yàn)?img alt="" class="h-pic" src="https://epubservercos.yuewen.com/217590/15436378304486406/epubprivate/OEBPS/Images/image225.jpg?sign=1755169061-a0XVzRjbD1vpGC1OkwENZkefZ0X1TNVZ-0-1148122408a9b1394982129667a9f64b">，所以對任意的δ₁，存在δ，當(dāng)0＜|x－a|＜δ時(shí)，有又因?yàn)閒（x）連續(xù)，對任意的ε，存在，當(dāng)時(shí)，有即對任意的ε，存在δ，當(dāng)

0＜|x－a|＜δ時(shí)，有|f（g（x））－f（c）|＜ε。

7．設(shè)（其中a，b，c是整數(shù)）是奇函數(shù)，且在[1，＋∞）上單調(diào)遞增，

（1）求a，b，c的值；

（2）證明：f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減．[四川大學(xué)研]

解：（1）由于f（x）是奇函數(shù)，∴c＝0．再由f（1）＝2，可得

　 

又因f（x）在[1，＋∞）上單調(diào)遞增，且f（1）＝2．

　

再將①代入②可得

因?yàn)閎是整數(shù)，

∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減．

8．是否存在這樣的函數(shù)，它在區(qū)間[0，1]上每點(diǎn)都取有限值，但在此區(qū)間的任何點(diǎn)的任何鄰域內(nèi)都無界．[上海師范大學(xué)研]

解：存在，比如

，存在有理數(shù)列，對任意正數(shù)M而使

∴f（x）在x₀的鄰域內(nèi)無界