第2章　數列極限

一、判斷題

1．單調序列中有一個子序列收斂，則收斂．（　　）[武漢大學研]

【答案】對

【解析】不妨設單增，即又設則

　 　　　　　

可證：用反證法，若．那么

這與①式矛盾，因此單調遞增有上界a，從而有極限，即證收斂．

事實上還可證時，有

再由，對上述ε，存在N₂，當時有

再令，當n>N時

2．序列的子序列和收斂，則收斂．（　　）[武漢大學研]

【答案】錯

【解析】舉反例：數列，和都收斂，但不收斂．

3．序列收斂，則序列收斂，其逆命題也成立．（　　）[武漢大學研]

【答案】錯

【解析】舉反例：收斂，但不收斂．

4．收斂，則．（　  ）[武漢大學研]

【答案】錯

【解析】舉反例：收斂，但

5．函數序列，滿足對任意自然數p及，有

，則一致收斂．（　　）[武漢大學研]

【答案】錯

【解析】比如在上滿足條件，但在[0，1]上不一致收斂．

二、解答題

1．用極限定義證明，當a>1時，，并討論當0＜a≤1時，極限是否存在。如果存在，極限是多少。[上海理工大學研]

證明：當a>1時，令，則。由

得

對于任意給定的ε>0，取，則當n>N時，就有，即，所以

當0＜a＜1時，；當a＝1時，

2．敘述發散的定義，證明{cosn}，{sinn}發散。[大連理工大學研、武漢大學2006研]

證明：設不以a為極限。存在，對任意的N，有，使得，下證{sinn}不收斂。

存在，對任意的N，有，則有

所以。（柯西（Cauchy）收斂準則）

3．證明：若數列無上界，則必有嚴格單調增加且趨于＋∞的子列。[上海理工大學研]

證明：因為數列無上界，所以存在。同樣因為數列無上界，所以存在。依次類推，可得到的子列滿足顯然是的嚴格單調增加且趨于＋∞的子列。

4．設定義

證明：

（1）（2）[四川大學、天津大學研]

證明：（1），由L’Hospital法則

 

（2）當x→＋∞時，令則由兩邊夾法則可知：

5．設求極限[華中科技大學研]

解：令則。利用Cauchy中值定理可得

此處應用了和，因為而所以

6．設0＜c＜1．，，證明：收斂，并求其極限．[武漢大學、華中師范大學研]

證明：

方法一：用數學歸納法可以證明

事實上，假設，則

令

　 ①

其中ε介于與之間，由于0＜c＜1，再由①式可知為壓縮數列，故收斂，設

由于

方法二：先用數學歸納法可證

  ②

再用數學歸納證明

　  ③

顯然，歸納假設，則

從而③成立．

由②，③知單調遞增有上界，，．注意到l＜1，

7．證明：為遞減數列；[華東師范大學研]

證明：

證法一：（1）設

為遞減數列．

（2）由嚴格增且，故，再由嚴格減且

故

即

取對數

于是

證法二：（1）因為

①

再由①式知

為遞減數列．

（2）由于

故

  ②

　 ③

由②，③即證