第1章　函數

1.1　復習筆記

一、實數

1．數集

（1）集合的概念

集合是將具有某種特性的、確定的、互不相同的對象的全體作為一個整體，這些對象稱為集合中的元素，若a是集合A中的元素，則記為a∈A，如果a不是集合A中的元素，則記為.

（2）集合的表示方法

①列舉法：是將集合中的元素全部列出.

②描述法：是將集合的特性精確給出.

（3）子集的相關概念

①子集的定義：若集合A中的每一個元素X都屬于集合B，則稱B包含A，記為，此時也稱A是B的子集.

②集合相等：如果和同時成立，則認為A，B是同一個集合，此時也記為A＝B.

③真子集的定義：若且A≠B，則稱A是B的真子集，記為.

注：空集即中不含有任何元素,因此是任何集合的子集.

（4）集合的運算

給定集合A，B，集合有以下常用運算：

①稱為A與B的并；

②稱為A與B的交；

③稱為A與B的差.

2．實數系的連續性

（1）分劃的定義

設S是一個有大小順序的非空數集，A和B是它的兩個子集，如果它們滿足以下條件

①

②

③都有

④A中無最大數，

則將A，B稱為S的一個分劃，記為.

（2）戴德金分割定理

對實數系R的任一分劃（A|B），B中必有最小數.

3．有界集與確界

（1）有界集

①設集合并且，

a．如果存在使得對有≤M，則稱E是有上界的，并且說M是E的一個上界；

b．如果存在使得對有≥m，則稱E是有下界的，并且說m是E的一個下界；

c．如果E既有上界又有下界，則稱E是有界的.

②E是有界的充分必要條件是：存在M＞0，使得對任意的有

（2）確界的定義

①上確界

設為一個非空數集，若有滿足

a．M是E的一個上界，即有

b．對存在使得則稱M為E的上確界，記為.

②下確界

設滿足：

a．m是E的一個下界，即有

b．對存在使得，則稱m為E的下確界，記為

顯然，E的上確界就是它的最小上界，而下確界就是它的最大下界.

（3）確界定理

非空有上界的實數集必有上確界；非空有下界的實數集必有下確界.

（4）常用不等式

①實數的絕對值

由此可知，對任何有

②三角不等式

，

③伯努利（Bernoulli）不等式：對任意的和任意正整數n，有

④算術—幾何平均不等式：對任意n個非負實數有：

（5）常用記號

①N：全體正整數組成的集合；

②Z：全體整數組成的集合；

③Q：全體有理數組成的集合；

④R：全體實數組成的集合.

顯然有

⑤閉區間：

⑥開區間：

⑦左開右閉區間：

⑧左閉右開區間：且；

⑨無窮區間：.

二、函數的概念

1．函數的定義

（1）對于給定的集合，如果存在某種對應法則f，使得對X中的每一個數x，在R中存在唯一的數y與之對應，則稱對應法則f為從X到R的一個函數，記做

其中y稱為f在點x的值，X稱為函數f的定義域，數集稱為函數f的值域，記為f（x），x稱做自變量，y稱做因變量.

（2）構成一個函數必須具備三個基本要素：定義域、值域和對應法則.

2．常見函數類型

（1）基本初等函數

①常值函數：

②冪函數：

③指數函數：

④對數函數：

⑤三角函數：

⑥反三角函數：.

（2）特殊函數

①符號函數

②狄利克雷（Dirich1et）函數

.

③高斯（Gauss）取整函數其中［x］即不超過x的最大整數，即n≤x＜n＋1.

④黎曼（Riemann）函數

⑤特征函數:設，

稱為集E的特征函數.

3．函數的構造

（1）函數的四則運算

設為兩個已知函數，且則可以利用實數的四則運算構造新函數如下：

（2）函數的限制與延拓

設函數和滿足：且則稱f（x）是g（x）在X₁上的限制，而g（x）是f（x）在X₂上的延拓.

（3）函數的復合

設為兩個函數，若則定義在X₁上的函數稱為f₁和f₂的復合函數，記作，通常稱f₁為該復合函數的內函數，f₂為外函數.

注：函數的復合運算可以進行的前提條件是，外函數的定義域必須包含內函數的值域.

（4）映射和反函數的定義

①單射：設是一個函數，若對任意的只要x₁≠x₂，就有成立，則稱f（x）是單的.

②滿射：若則稱f（x）為滿的.

③雙射：若f（x）既是單的又是滿的，稱為雙射，又稱它為一個一一對應.

④反函數：設是一個一一對應.定義函數如下：對任意的函數值g（y）規定為由關系式y＝f（x）所唯一確定的這樣定義的函數g（y）稱為是函數f（x）的反函數，記為

注：反函數的定義域和值域恰為原來函數的值域和定義域.函數f和其反函數滿足：

y＝f（x）的圖像與它的反函數的圖像正好關于直線y＝x對稱.

三、具有某些特性的函數

1．有界函數

（1）設y＝f（x）是定義在X上的函數.若存在常數M，使得對都有f（x）≤M，則稱f（x）在X上有上界，同時稱M是f（x）的一個上界；若存在常數m，使得對都有,則稱f（x）在X上有下界，同時稱m是f（x）的一個下界；若f（x）在X上既有上界M又有下界m，則稱f（x）在X上有界.

（2）f（x）在X上有界的充分必要條件是存在，使得當時，有,即

2．單調函數

設y＝f（x）是定義在X上的一個函數，若對任意的只要x₁＜x₂，便有

則稱f（x）在X上是單調上升（下降）函數或單調遞增（遞減）函數.在上述不等式中將換成則稱f（x）在x上是嚴格單調上升（下降）函數.單調上升函數和單調下降函數統稱為單調函數.

3．周期函數

設y＝f（x）是在X上有定義的函數,若存在T＞0，使得對任意有則稱f（x）為周期函數，T稱為f（x）的一個周期.若存在一個最小的正周期T₀，則稱T₀為f（x）的基本周期.

4．奇函數、偶函數

設y＝f（x）是定義在X上的一個函數，而且X是關于原點對稱的，即蘊涵著

（1）若對一切的成立，則稱f（x）是X上的奇函數；

（2）若對一切的成立，則稱f（x）是X上的的偶函數.

注：偶函數的圖像是關于y軸對稱的，而奇函數的圖像是關于原點對稱的.

四、初等函數

1．初等函數的概念

從六種基本初等函數出發，經過有限多次加、減、乘、除和復合運算所能得到的所有函數統稱為初等函數.

2．雙曲函數

（1）雙曲函數的定義

這四個函數分別稱之為雙曲正弦、雙曲余弦、雙曲正切和雙曲余切.

（2）雙曲函數的恒等式