第9章　數項級數

9.1　復習筆記

一、數項級數的收斂性

1．相關定義

（1）無窮數項級數

設x₁，x₂，…，x_n，…是無窮可列個實數，稱它們的和為無窮數項級數（簡稱級數），記為

稱為數項級數的部分和數列．

（3）級數的收斂與發散

如果部分和數列{S_n}收斂于有限數S，則稱無窮級數收斂，且稱它的和為S，記為如果部分和數列發散，則稱無窮級數發散．

2．級數的基本性質

（1）級數收斂的必要條件

設級數收斂，則其通項所構成的數列是無窮小量，即．

注：只是級數收斂的必要條件，而非充分條件．

（2）線性性

設，α，β是兩個常數，則

（3）定理

設級數收斂，則在它的求和表達式中任意添加括號后所得的級數仍然收斂，且其和不變．

二、上極限與下極限

1．數列的上極限和下極限

（1）相關定義

①在有界數列的一個極限點．

②記是的極限點}，則E顯然是非空的有界集合，因此，E的上確界和下確界存在．E的最大值稱為數列的上極限，記為E的最小值稱為數列{x_n}的下極限，記為

注：“ξ是數列的極限點”可以等價地表述為：“對于任意給定的，存在中的無窮多個項屬于ξ的ε鄰域”．

（2）重要定理

①E的上確界H和下確界h均屬于E，即

②設是有界數列，則收斂的充分必要條件是．

 

（3）極限點定義的擴充

①定義  在數列中，若存在它的一個子列使得

則稱ε為數列的一個極限點．

②定理  存在（有限數、＋∞或﹣∞）的充分必要條件是

．

③定理  設是有界數列，則的充分必要條件是：對任意給定的ε＞0，

a．存在正整數N，使得對一切n＞N成立；

b．中有無窮多項，滿足．

④定理  設是有界數列，則的充分必要條件是：對任意給定的

a．存在正整數N，使得對一切n＞N成立；

b．中有無窮多項，滿足

2．上極限和下極限的運算

（1）定理

設{x_n}，{y_n}是兩數列，則

①

②若存在，則

注：要求上述諸式的右端不是待定型，即不為（＋∞）或（﹣∞）等．

（2）定理

設{x_n}，{y_n}是兩數列

①若x_n≥0，y_n≥0，則

②若則

注：要求上述諸式的右端不是待定型，即不為0·（＋∞）等．

 

3．數列的上極限與下極限等價定義

（1）相關概念

設{x_n}是一個有界數列，令

則{a_n}是單調增加有上界的數列，{b_n}是單調減少有下界的數列，因此數列{a_n}與{b_n}都收斂．

記

①當數列{x_n}無上界而有下界時，則對一切n∈N^＋，b_n＝＋∞，定義H^*＝＋∞,這時數列{a_n}單調增加，但也可能沒有上界．如果則由

可知

②當數列{x_n}無下界而有上界時，則對一切n∈N^＋，a_n＝﹣∞，定義h^*＝﹣∞，這時數列{b_n}單調減少，但也可能沒有下界．如果，則由

可知

③當數列{x_n}既無上界又無下界時，則對一切n∈N^＋，a_n＝﹣∞，b_n＝＋∞，定義H^*＝＋∞，h^*＝﹣∞,所以對于任意實數數列，盡管其極限可以不存在，但H^*與h^*總是存在的（有限數或＋∞或﹣∞），且滿足h^*≤H^*．

（2）相關定理

H^*是{x_n}的最大極限點，h^*是{x_n}的最小極限點．

三、正項級數

1．正項級數

（1）定義

如果級數的各項都是非負實數，即x_n≥0，n＝1，2，…，則稱此級數為正項級數．

（2）正項級數的收斂原理

正項級數收斂的充分必要條件是它的部分和數列有上界．若正項級數的部分和數列無上界，則其必發散到＋∞．

2．正項級數的收斂判別法

（1）比較判別法

①設與是兩個正項級數，若存在正整數N與常數A＞0，使得

x_n≤Ay_n，n＝N＋1，N＋2，…，

則

a．當收斂時，也收斂；

b．當發散時，也發散．

②（比較判別法的極限形式）設與是兩個正項級數，且

則

a．若0≤1＜＋∞，則當收斂時，也收斂；

b．若0＜1≤＋∞，則當發散時，也發散．

所以當0＜1＜＋∞時，與同時收斂或同時發散．

（2）Cauchy判別法

設是正項級數，則

①當r＜1時，級數收斂；

②當r＞1時，級數發散；

③當r＝1時，判別法失效，即級數可能收斂，也可能發散．

（3）d′Alembert判別法

設是正項級數，則

①當時，級數收斂；

②當時，級數發散；

③當時，判別法失效，即級數可能收斂，也可能發散．

（4）Raabe判別法

設是正項級數則

①當r＞1時，級數收斂；

②當r＜1時，級數發散．

（5）積分判別法

設f（x）定義于[a，＋∞），并且f（x）≥0，進一步設f（x）在任意有限區間[a，A]上Riemann可積．取一單調增加趨于＋∞的數列{a_n}：

令

則反常積分與正項級數同時收斂或同時發散于＋∞，且

特別地，當f（x）單調減少時，取a_n＝n，則反常積分與正項級數同時收斂或同時發散．

四、任意項級數

1．任意項級數

（1）級數的Cauchy收斂原理

①級數收斂的充分必要條件是：對任意給定的ε＞0，存在正整數N，使得

對一切m＞n＞N成立．

②級數收斂的充分必要條件是：對任意給定的ε＞0，存在正整數N，使得

對一切n＞N與一切正整數p成立．

取p＝1，上式即為，于是就得到級數收斂的必要條件．

（2）Leibniz級數

①定義  如果級數，則稱此級數為交錯級數．進一步，若級數

滿足{u_n}單調減少且收斂于0，則稱這樣的交錯級數為Leibniz級數．

②Leibniz判別法  Leibniz級數必定收斂．

③Leibniz級數的性質

a.對于Leibniz級數，成立

b.對于Leibniz級數的余和，成立

2.Abel判別法與Dirichlet判別法

（1）Abel變換

設{a_n}，{b_n}是兩數列，記（k＝1，2，……），則

（2）Abel引理

設

①{a_k}為單調數列；

②為有界數列，即存在M＞0，對一切k，成立，則

（3）級數的A-D判別法

若下列兩個條件之一滿足，則級數收斂：

①Abel判別法：{a_n}單調有界，收斂；

②Dirichlet判別法：{a_n}單調趨于0，有界．

3．級數的絕對收斂與條件收斂

（1）定義

如果級數收斂，則稱為絕對收斂級數．如果級數收斂而發散，則稱為條件收斂級數．

（2）定理

若絕對收斂，則與都收斂；若條件收斂，則都發散到＋∞．

4．加法交換律

（1）定理  若級數絕對收斂，則它的更序級數也絕對收斂，且和不變，即

（2）定理  設級數條件收斂，則對任意給定的n，﹣∞≤a≤＋∞，必定存在的更序級數滿足．

5．級數的乘法

（1）定義

對于兩個收斂的級數與，寫出所有諸如

的項，將它們排列成下面無窮矩陣的形式：

然后，將所有這些項相加的結果定義為與的乘積．

（2）級數乘積的斂散性

①常用的排列次序與方式是下面所示的“對角線”排列與“正方形”排列．

a．對角線排列：

令

則稱

為級數與的Cauchy乘積．

b．正方形排列：

令

則就是級數與按正方形排列所得的乘積．

對于正方形排列所得的乘積，只要與收斂，則總是收斂的，并成立

②定理  如果級數與絕對收斂，則將按任意方式排列求和而成的級數也絕對收斂，且其和等于

五、無窮乘積

1．相關定義

（1）設p₁，p₂，．．．p_n,…（p_n≠0）是無窮可列個實數，稱它們的“積”

p₁p₂…p_n…

稱為無窮乘積，記為，其中p_n稱為無窮乘積的通項或一般項．

（2）構造無窮乘積的“部分積數列”

（3）如果無窮乘積的部分積數列收斂于一個非零的有限數P，則稱無窮乘積收斂，且稱P為它的積，記為

如果發散或收斂于0，則稱無窮乘積發散．

注：當時，稱無窮乘積發散于0，而不是收斂于0．

2．重要定理

如果無窮乘積收斂，則

3．無窮乘積與無窮級數

（1）無窮乘積的收斂

①定理  無窮乘積收斂的充分必要條件是級數收斂．

②推論  a.設a_n＞0（或a_n＜0），則無窮乘積收斂的充分必要條件是級數收斂．

b.設級數收斂，則無窮乘積收斂的充分必要條件是級數收斂．

（2）無窮乘積的絕對收斂

①定義  當級數絕對收斂時，稱無窮乘積絕對收斂．

②定理  設，則下述三命題等價：

a．無窮乘積絕對收斂；

b．無窮乘積收斂；

c．級數收斂．