第8章　z變換、離散時間系統的z域分析

一、選擇題

1．已知一雙邊序列，其Z變換為（　　）。[北京郵電大學2009研]

A．　 

B．

C．　 

D．

【答案】A

【解析】由題意，根據常用Z變換，得：

，

2．已知因果信號的Z變換，則的收斂域為（　　）。[西安電子科技大學2010研]

A． 

B．　 

C．　

D．

【答案】C

【解析】因果信號的收斂域是的形式，并且收斂域內不能包含極點。的極點為，所以的收斂域為。

3．已知的Z變換為，則的Z變換為（　　）。[北京航空航天大學2007研]

A．　 

B．　 

C．　 

D．　 

E．都不對

【答案】D

【解析】利用和函數z變換公式即可。

4．對線性移不變離散時間系統，下列說法中錯誤的是（　　）。[東南大學研]

A．極點均在z平面單位圓內的是穩定系統　 

B．收斂域包括單位圓的是穩定系統

C．收斂域是環狀區域的系統是非因果系統　 

D．單位函數響應單邊的是因果系統

【答案】A

【解析】A項，極點均在z平面內以原點為圓心單位圓內的是穩定系統。由功率有限信號定義：如果信號的平均功率滿足，稱為功率

二、填空題

1．已知一穩定線性時不變系統的系統函數為，該系統的單位樣值響應為________。[國防科技大學2008研]

【答案】

【解析】改寫原式為：=

，

根據常用Z變換可知，，。因此：

2．序列，設，則等于________。[西安電子科技大學2008研]

【答案】

【解析】根據常用z變換，得到：

由卷積定理可得：　 

3．序列的單邊z變換及其收斂域是_________。[華中科技大學2009研]

【答案】

【解析】若要求序列的單邊z變換，則可將看作：

于是其z變換為，收斂域為。

4．象函數則原序列________。[西安電子科技大學研]

【答案】

【解析】　

根據給定的收斂域可知，上式第一項的原序列為因果序列，第二項的原序列為反因果序列，故

三、計算題

1．求因果序列的初值和終值，已知該序列z變換為[中國科學院研究生院2012研]

解：

由于的兩個極點分別為，可知的收斂域不包含單位圓，則該序列無終值。

2．判斷沖激響應是否對應于穩定的LTI系統。[中山大學2011研]

解：沖激響應對應穩定的LTI系統。

對作z變換得

可知系統的極點，收斂域包含單位圓，所以系統穩定。

3．已知一LTI因果離散時間系統如圖8-1所示。

圖8-1

（1）求系統函數且說明收斂域；

（2）求系統的單位樣值響應；

（3）畫出系統的幅頻曲線且標注數值，并說明系統的濾波特性。[北京航空航天大學2007研]

解：系統框圖如圖8-2所示。

圖8-2

（1）由圖8-2可列出方程組

取z變換，有

消去，化簡得

因為此系統為因果系統，所以。

（2）由（1）可知，單位樣值響應

。

（3）將代入系統函數，有

故當時，；當時，；當時，；當時，；當時，。

以為周期，頻譜圖如圖8-3所示，該系統應為帶通系統。

圖8-3

4．離散系統框圖如圖8-4所示。求系統函數和單位樣值響應。并判斷系統的穩定性。[解放軍信息工程大學2007研]

圖8-4

解：（1）設兩個延時器之間的信號為，則：

求其Z變換，得到：

消去，則： 

（2）系統極點為，全部在單位圓內，則系統穩定。

（3）因為，則：

5．已知，，求反變換。[四川大學2007研]

解：由題意，有：

因為  　，，

，

所以有：

。

6．求，的反變換。[浙江大學2009研]

解：　

由于　 

所以　 

7．已知某二階穩定離散LTI系統具有有理的系統函數，關于該系統還知道以下信息：

①有一個零點在原點；

②的兩個實極點互為倒數；

③；

④當輸入時，輸出；

⑤當輸入時，輸出。

問：（1）求系統函數，并指明其收斂域；

（2）在z平面上標出零、極點和收斂域；

（3）求系統的單位階躍響應。[華中科技大學2010研]

解：（1）根據已知，可設系統函數為，根據條件3，可知c = 1。由條件4可知，；由條件5可知，。因此可得：

，

（2）零、極點及收斂域如圖6-5所示，收斂域為兩個虛線圓之間的部分。

圖8-5

（3）根據常用z變換，可知，所以單位階躍響應的z變換為：

，

求其逆變換，可得單位階躍響應為：