第2章　連續系統的時域分析

一、填空題

1．若y（t）＝f（t）*h（t），則y（2t）＝______。[長沙理工大學2006研]

【答案】2f（2t）*h（2t）

【解析】根據卷積定義，，則

另解：此題也可以使用傅里葉變換性質得到：

設

則，由尺度變換特性得

則。

2．已知某LTI系統，當輸入為f（t）＝ε（t）時，其輸出為y（t）＝e－tε（t）＋ε（－1－t）；則當輸入為f（t）＝ε（t－1）－ε（t－2）時，系統的響應y_f（t）＝______。[長沙理工大學2006研]

【答案】

【解析】設f₁（t）＝ε（t）由LTI系統的線性和時不變性得（由于該題沒有給出系統的初始狀態，所以這里不考慮）

f（t）＝ε（t－1）－ε（t－2）＝f₁（t－1）－f₁（t－2）

3．已知某LTI系統，當t＞0時有：

當輸入f（t）＝（e－t＋2e－2t）ε（t）時，輸出響應為（e－t＋5e－2t）ε（t）；

當輸入f（t）＝（2e－t＋e－2t）ε（t）時，輸出響應為（5e－t＋e－2t）ε（t）；

當輸入f（t）＝（e－t＋e－2t）ε（t）時，輸出響應為（e－t＋e－2t）ε（t）；

則當輸入為f（t）＝（e－t－e－2t）ε（t）時，系統的輸出響應為______。[長沙理工大學2006研]

【答案】

【解析】根據LTI系統的線性性質，這里給出的條件較多，所以要考慮系統的初始狀態

（1）首先算出兩組輸入對應的零輸入響應

其零狀態響應為：

其對應的零狀態響應為：＝

同樣可得對應的零狀態響應為

則所對應的零狀態相應為

求得對應的零狀態響應為

則解得零輸入響應為

因而求得輸入為f（t）＝（e－t－e－2t）ε（t）時，輸出為

二、判斷題

任何系統的全響應必為零狀態響應與零輸入響應之和。（　　）[北京郵電大學2012研]

【答案】×

【解析】零輸入響應為僅由起始狀態所產生的響應。零狀態響應是系統的初始狀態為零時，僅由輸入信號引起的響應。由此可知僅當系統滿足線性時，其全響應必為零狀態響應與零輸入響應之和。

三、分析計算題

1．已知某系統的轉移函數，系統的激勵信號，求系統的零狀態響應

，并標明受迫分量和自然分量。[天津工業大學2006研]

解：進行部分分式分解，可得：

將代入，則可得S域的系統函數為：

取激勵信號的拉氏變換，可得：

則零狀態響應：

取激勵信號的拉氏反變換，可得：

自由分量：（具有系統的特征根形式）

受迫分量：（具有激勵響應的形式）

2．給出下列波形函數的卷積結果波形，其中，圖2-1（a）、（b）分別為f₁（t）和f₂（t）的波形。[長沙理工大學2006研]

圖2-1

解：由圖2-1（b）可知，f₂（t）＝δ（t－1）－δ（t－3）。根據卷積運算的時移性質和δ（t）的性質，有

所以，其波形如圖2-2所示。

圖2-2

3．某初始狀態不為零的因果連續LTI系統如圖2-3所示，已知當輸入時，系統全響應為

，且系統函數的兩個共軛零點的實部為1。試回答以下問題：

（1）確定系統框圖中a、b、c、d的值；

（2）求零狀態響應和零輸入響應；

（3）求初始狀態值、、。[華中科技大學2008研]

圖2-3

解：由框圖可知，系統函數

令，由于兩共軛零點實部為1，可以求得，故。

因輸入，即時，系統全響應，即

　 ①

由此可知的三個一階極點分別為，，，分別代入傳遞函數特征方程式

，從而可得

根據可寫出系統微分方程為

對方程兩邊取單邊拉氏變換，將代入并整理可得

　  ②

由式①＝②，可求得

零狀態響應為

取拉氏反變換得

零輸入響應為

4．如圖2-4所示線性時不變連續復合系統，已知，H₂（jω）＝e－jπω，h₃（t）＝ε（t），h₄（t）＝sin（6t）/（πt）。

圖2-4

（1）求復合系統的頻率響應H（jω）和沖激響應h（t）；

（2）若輸入f（t）＝sin（4t）＋cos（t），求系統的零狀態響應y_f（t）；

（3）求響應y_f（t）的功率。[西安電子科技大學2005研]

解：（1）因為

整理，得

Y（jω）＝F（jω）H₁（jω）[1－H₂（jω）]H₃（jw）H₄（jω）

由系統頻率響應的定義，得

   （1）

由和傅里葉變換的對稱性，有

令τ＝4，可得

由傅里葉變換的時域微分性質，可得

即

　  （2）

同理，可得h₄（t）＝sin（6t）/πt＝（6/π）Sa（6t）g₁₂（ω），即

  H₄（jω）＝g₁₂（ω）　  （3）

又因為

將H₁（jω）～H₄（jω）代入式（1）得

又因為

所以，系統的單位沖激響應為

（2）因為

cos（ω₀t）|H（jω₀）|cos[ω₀t＋ψ（ω₀）]

sin（ω₀t）|H（jω₀）|sin[ω₀t＋ψ（ω₀）]

當ω₀＝1時，|H（j）|＝（1/2）g₄（1）（1－e－jπ）＝1，ψ（1）＝0；

當ω₀＝4時，|H（j4）|＝（1/2）g₄（4）（1－e－jπ4）＝0，ψ（4）＝0。

所以有

f（t）＝sin（4t）＋cos（t）

進而可得系統的零狀態響應為

y_f（t）＝cos（t）

（3）由于系統響應y_f（t）＝cos（t）是周期信號，且周期為T＝2π，因此，其功率為

5．一個LTI系統S的單位沖激響應是；

（1）計算該系統S的單位階躍響應。

（2）當該系統的輸入信號是時，求該系統的輸出信號？[華南理工大學2011研]

解：（1）系統函數

系統的單位階躍響應的拉氏變換為：

取其拉氏逆變換為：

（2）已知則其拉氏變換為：

取其逆變換可得。

6．由微分方程表示的因果系統，已知其起始條件為，

。

（1）求系統函數，畫出在s平面上零極點分布和收斂域；

（2）試畫出用最少數目的三種連續時間基本單元（數乘器、相加器和積分器）實現該系統的規范型實現結構；

（3）當輸入時，求該系統的零狀態響應，以及零輸入響應。[中國科學技術大學2012研]

解：（1）對微分方程兩邊拉氏變換，可得到系統函數。

即

則其零極點分布圖如下，

由于系統是因果系統，所以同時標出系統的收斂域如圖2-5所示：

圖2-5

（2）由題中要求用最少數目的連續時間基本單元，所以我們選擇的是直接Ⅱ型，該結構如圖2-6所示：

圖2-6

（3）對微分方程兩邊進行單邊拉氏變換得：

整理得：

則

（僅與輸入有關）

（僅與系統的初始狀態有關）

取其逆變換得：