第3章　離散系統的時域分析

一、選擇題

1．有限長序列的長度為4，欲使與的圓卷積和線卷積相同，則長度L的最小值為（　　）。[中國科學院研究生院2012研]

A．5

B．6

C．7

D．8

【答案】C

【解析】的長度為4，則其線卷積的長度為4＋4－1＝7。當與的圓卷積時，與的圓卷積和線卷積相同，可知L的最小值為7。

2．若以下為系統的單位樣值響應，則其中代表不穩定系統的是（　  ）。[中國科學院研究生院2012研]

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】若離散時間系統穩定，則系統函數的收斂域應該包括單位圓。題中四個選項的Z變換收斂域分別為由此可知B選項代表不穩定系統。

二、分析計算題

1．已知序列：f（n）＝ε（n）－ε（n－2），h₁（n）＝δ（n）－δ（n－1），h₂（n）＝anε（n－1），a≠0，則y（n）＝f（n）*h₁（n）*h₂（n）為何序列？[長沙理工大學2006研]

解：根據卷積運算，有

2．已知二階離散系統的差分方程為y（k）－5y（k－1）＋6y（k－2）＝f（k－1），且f（k）＝2kε（k），y（－1）＝1，y（－2）＝1。求系統的完全響應y（k）、零輸入響應y_x（k）、零狀態響應y_f（k）、系統函數、系統單位樣值響應。[長沙理工大學2006研]

解：對系統差分方程取單邊z變換，得

將初始條件y（－1）＝1和y（－2）＝1代入上式，整理得

其中，。

因此，系統的零輸入響應為

又因為，所以

因為，由z域微分性質，得

因此，系統的零狀態響應為

系統全響應為

系統函數為

系統單位樣值響應為

3．離散時間系統如圖3-1所示，已知y（－1）＝y（－2）＝1，f（n）＝（1/3）nε（n），試求：

圖3-1

（1）寫出描述該系統的差分方程；

（2）設該系統為因果系統，求系統函數H（z）和單位脈沖響應h（n）；

（3）求系統零狀態響應y_f（n）、零輸入響應y_x（n）和全響應y（n）；

（4）在Z平面上畫出H（z）的零極點分布圖，并判斷系統的穩定性；

（5）設信號的采樣周期T_s＝1s，請畫出系統的幅頻響應特性圖。[長沙理工大學2005研]

解：（1）系統的差分方程為

對差分方程取單邊z變換，得

整理得

其中

（2）該系統為因果系統，則系統單位脈沖響應為右邊序列，系統傳輸函數為

系統單位脈沖響應為

（3）系統零輸入響應為

系統零狀態響應為

系統全響應為

（4）H（z）的零極點分布如圖3-2所示，由于極點全部在單位圓之內，因此系統是穩定的。（系統函數的收斂域為，包括單位圓，系統是穩定的）

系統幅頻特性為：，其幅頻特性如圖3-3所示。

圖3-2　 圖3-3

4．已知描述某線性時不變離散系統的差分方程為y（k＋2）－3y（k＋1）＋2y（k）＝f（k＋1）－2f（k），并知f（k）＝ε（k），y（0）＝1，y（1）＝1。

（1）求系統的全響應y（k）；

（2）畫出系統的一種模擬流圖。[西安電子科技大學2005研]

解：（1）根據題目給定的差分方程，可改寫為

y（k）－3y（k－1）＋2y（k－2）＝f（k－1）－2f（k－2）

由于y（0）＝1，y（1）＝1，f（k）＝ε（k），因此由上述差分方程可推得：。對上述差分方程取單邊z變換，得

Y（z）－3[z－1Y（z）＋y（－1）]＋2[z－2Y（z）＋z－1y（－1）＋y（－2）]＝（z－1－2z－2）F（z）

整理，得

將代入式中，得

把F（z）＝1/（1－z－1）代入上式，可得

利用部分分式法將Y（z）化簡為

因為，所以，系統的全響應為：

（2）由于，設中間變量為，即

X（z）＝F（z）＋3z－1X（z）－2z－2X（z）（1）

Y（z）＝z－1X（z）－2z－2X（z）（2）

由式（1）和式（2）可畫出系統的一種模擬流圖如圖3-4所示。

圖3-4

5．在移動通信系統中，多徑傳輸是使系統性能降低的一個主要原因。所謂多徑傳輸是指發射機和接收機之間有多條傳輸路徑（例如，發射信號經過多個物體的反射到達接收端，形成多徑傳輸），每條路徑的傳輸距離和傳輸時延通常是不同的。一個簡單的多徑傳輸模型可以表示為

其中，y（n）表示有失真的接收信號，x（n）表示發射信號。求從y（n）復原x（n）的逆系統的沖激響應。[北京郵電大學2012研]

解：由題意可知，多徑傳輸模型的系統函數為

若想要從y（n）中復原x（n）,則逆系統的系統函數為

則其沖激響應為：