第15章　電路方程的矩陣形式

一、計算題

1．如圖15-1所示的非平面線圖，選定5，6，7，8，9號支路為樹。試寫出與所選樹對應的各基本回路、各基本割集所含的支路。［華中科技大學2007研］

圖15-1

解：5，6，7，8，9號支路為樹，樹支數是5，所以有向圖的結點數為n＝6，獨立割集數n－1＝5，支路數為b＝9，基本回路數為b－n＋1＝4。對應題中所選的樹，得基本回路矩陣為

所以基本回路為{1，7，8，9}，{2，6，8，9}，{3，5，6，8}，{4，5，6，7，8，9}。對應的割集矩陣為

所以基本割集為{5，3，4}，{6，2，3，4}，{7，1，4}，{8，1，2，3，4}，{9，1，2，4}。

2．如圖15-2所示電路，開關打開，并處于穩定狀態，且已知u_c（0_－）＝0，i_L（0_－）＝0。t＝0時開關閉合。列出以u_c，i_L為狀態變量的狀態方程，并整理為標準形式。［西安交通大學2006研］

圖15-2

解：分析開關閉合后電路狀態：

對結點列KCL方程，對含電感、電容的回路列KVL方程：

代入參數并整理成狀態方程的標準形式，有：

3．已知某網絡的基本割集矩陣為

其對應的支路阻抗矩陣為

試求：（1）基本回路矩陣B；（2）割集導納矩陣Y；（3）回路阻抗矩陣Z₁。[天津大學2004研]

解：（1）在矩陣Q的每一列中，只有一個不為零且為1的列為1、3、5，所以支路1、3、5為樹支，支路2、4、6為連支。將給定的矩陣Q按先樹支后連支的順序重新排列如下：

若均按先樹支、后連支的同一支路順序排列，我們可以把矩陣寫成下列形式：

，且存在BQ^T＝0得到B_t＝－Q₁^T，所以得其對應的基本回路矩陣為：

還原為按支路編號順序的基本回路矩陣：

（2）支路導納矩陣為：

割集導納矩陣Y＝QY_bQ^T，代入已知量得：

（3）回路阻抗矩陣為Z₁＝BZB^T，代入已知量得：

4．設電源頻率為ω，電路如圖（a）所示，其有向圖如圖（b）。

（1）寫出關聯矩陣A；

（2）以支路3、4、5為樹支，寫出基本回路矩陣B_f；

（3）寫出支路阻抗矩陣Z（以支路1-6為排列順序）；

（4）寫出支路導納矩陣Y（以支路1-6為排列順序）。[北京交通大學2011研]

圖15-3

解：（1）關聯矩陣A

圖15-4

解：（1）根據題意，令，，畫出等效電路如圖所示，可得：

圖15-5

（2）支路導納矩陣：

節點導納矩陣：

（3）因為，

所以：　 ， 

又可知：

代入，得：

解非齊次線性方程組，得：

化為三角形，得：　 

6．已知某網絡的基本回路矩陣為

其對應的支路阻抗矩陣為

試求：

（1）該網絡的回路阻抗矩陣〔Z_L〕；

（2）對應于〔B_f〕的基本割集矩陣〔Q_f〕；

（3）割集導納矩陣〔Y_C〕。[天津大學2005研]

解：（1）

（2）可得

（3）由已知支路阻抗矩陣得支路導納矩陣為

可得