六、計算題

1．假定某市場由高收入者和低收入者構(gòu)成，他們的需求函數(shù)和收入分別為：

（1）求市場需求函數(shù)。

（2）當時，高收入者和低收入者的購買量各是多少？整個市場的銷售量又是多少？

（3）假定政府執(zhí)行一項轉(zhuǎn)移支付政策，向高收入者征稅20并全部支付給低收入者。求市場需求函數(shù)（）。

（4）執(zhí)行此項轉(zhuǎn)移支付政策后，當時，高收入者和低收入者的購買量又各是多少？整個市場的銷售量又是多少？

（5）比較以上（2）和（4）的結(jié)果，并分析政府此項執(zhí)行轉(zhuǎn)移支付政策的效果。

解：（1）根據(jù)題意，高收入者和低收入者的需求函數(shù)分別為：

即：

由此得市場需求函數(shù)為：

即：。

（2）當時，高收入者和低收入者的購買量分別為：

整個市場的銷售量為：

或：

（3）當政府執(zhí)行轉(zhuǎn)移支付政策后，高收入者和低收入者的需求函數(shù)分別為：

，即

，即

由此得市場需求函數(shù)為：

，即

（4）執(zhí)行此項轉(zhuǎn)移支付政策后，當時，高收入者和低收入者的購買量分別為：

整個市場的銷售量為：

或：

（5）比較以上（2）和（4）的結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)，政府執(zhí)行此項轉(zhuǎn)移支付政策后，高收入者的購買減少4單位（因為），而低收入者的購買增加6單位（因為）。此外，整個市場的銷售量增加2單位（因為）。

假定政府執(zhí)行此項轉(zhuǎn)移支付政策的目的是為了縮小收入差距，提高低收入者的消費水平，并在一定程度上刺激整個市場的消費水平，那么，可以說該政策是有一定效果的。

2．某地方蘋果價格從32美分提高到40美分，漲價后蘋果市場的均衡消費量減少12%，漲價后蘋果市場的均衡消費量為880萬公斤，試求需求的價格弧彈性。

解：由題設，有，，，。

根據(jù)需求的價格弧彈性定義，有：

因此，需求的價格弧彈性為1。

3．已知消費者對某種商品的需求函數(shù)為，寫出相應的總收益函數(shù)和邊際收益函數(shù)。在什么價格水平上，需求價格彈性系數(shù)為1？

解：（1）由已知可得反需求函數(shù)為，則可得：

總收益函數(shù)為：；

邊際收益函數(shù)為：。

（2）由需求價格彈性定義公式有：，即：

解得。故在價格水平為上，需求價格彈性系數(shù)為1。

4．設某商品的需求價格彈性，并且當價格時，需求量，求該商品的需求函數(shù)。

解：商品的需求價格彈性公式為，即。

在方程兩邊積分，可得，整理可得。

由于價格時商品需求量，把有關參數(shù)代入商品需求函數(shù)可得，因此需求函數(shù)為。

5．試構(gòu)造需求收入彈性為常數(shù)的一個需求函數(shù)。

解：設需求收入彈性為常數(shù)，根據(jù)需求收入彈性公式，可得：

在方程兩邊積分，可得，求解可得需求函數(shù)為。

6．假定對應價格與需求量的需求函數(shù)為，且連續(xù)、可微，利用數(shù)理方法說明需求價格彈性與收益的關系。

解：總收益函數(shù)為，總收益對價格的導數(shù)為，其中為需求價格彈性。

由該關系式可知：

（1）當需求價格彈性時，有，從而總收益與商品價格反方向變動。即當商品需求富有價格彈性時，降價會帶來總收益的增加，漲價反而會引起總收益的減少。

（2）當需求價格彈性時，有，從而總收益與商品價格同方向變動。即當商品需求缺乏價格彈性時，漲價會帶來總收益的增加，降價反而會引起總收益的減少。

（3）當需求價格彈性時，有，從而商品價格對收益沒有影響。即當商品的需求為單位價格彈性時，漲價和降價對廠商的總收益沒有影響。

（4）當需求價格彈性時，，從而總收益與商品價格同比例變化。即當商品需求價格彈性為0時，廠商降價會使得總收益同比例于價格的下降而減少，漲價會使得總收益同比例于價格的上升而增加。

（5）當需求價格彈性時，，商品價格的微小變化會影響總收益的大幅度變化。即當商品需求彈性趨于無窮大時，在既定價格下，收益可以無限增加，因此，廠商不會降價，若漲價，則廠商的總收益會減少為零。

7．若某商品的需求函數(shù)為，試求在價格的情況下，該商品的需求價格彈性，并說明對該商品應采取的漲價或降價的政策。

解：（1）當價格時，代入商品需求函數(shù)可得，求解得到。

根據(jù)商品需求函數(shù)可得：，從而。

根據(jù)需求價格彈性的定義，有。

（2）上述計算表明，在價格等于60的情形下，商品的需求價格彈性大于1。由于當需求價格彈性大于1時，商品銷售總收益與價格呈反方向變動，因此需要對該商品采取降價政策，以便提高商品銷售收入。

8．已知某商品的需求價格彈性系數(shù)為0.5，當價格為每公斤3.2元時，銷售量為1000公斤。若價格下降10%，銷售量是多少？該商品降價后，總收益是增加了還是減少了？增加或減少了多少？

解：（1）假設該商品價格元，銷售量為公斤。若價格下降10%，即，把上述參數(shù)代入該商品的需求價格彈性系數(shù)公式，即，可得：

求解可得（公斤），即降價后的銷售量為1050公斤。

（2）該商品在價格為3.2元、銷售量為1000公斤的條件下，需求價格彈性系數(shù)為0.5，即價格下降1%、銷售量上升0.5%，表明銷售量的上升不足以彌補價格下降導致的總收益減少，因此降價后總收益減少了。

根據(jù)總收益公式可得，該商品降價前的總收益為：

（元）

降價后的總收益為：

（元）

因此商品降價導致的總收益減少為：（元）。

9．在某個市場上，需求方程為，供給方程為。

（1）求均衡價格、均衡交易量和此時的需求價格彈性。

（2）若政府在消費者購買該商品時對每單位商品征收10元的消費稅，求新的均衡價格、均衡交易量和相應的需求價格彈性。

解：（1）當供給等于需求時，市場達到均衡，則有：

解得均衡價格為（元），從而均衡交易量為。

根據(jù)需求價格彈性公式，此時的需求價格彈性為：。

（2）若政府在消費者購買該商品時對每單位商品征收10元的消費稅，則供給函數(shù)為：

需求函數(shù)不變，解得此時的均衡價格為（元），均衡交易量為。

此時的需求價格彈性為：

10．已知某產(chǎn)品的需求函數(shù)為，供給函數(shù)為。

（1）求均衡點的需求價格彈性和供給價格彈性。

（2）如果政府對每單位產(chǎn)品征收5元的銷售稅，則買者與賣者各自承擔了多少稅額？

解：（1）聯(lián)立求解需求函數(shù)和供給函數(shù)，即：

可得均衡價格和均衡產(chǎn)量分別為，。根據(jù)需求價格彈性公式和供給價格彈性公式，代入有關參數(shù)可得：

（2）消費者的稅收轉(zhuǎn)嫁因子為：2.25/（2.25+1.5）=0.6，政府對每單位產(chǎn)品征收5元銷售稅，則消費者承擔稅額為5×0.6=3（元/每單位）；生產(chǎn)者承擔稅額為5-3=2（元/每單位）。

11．據(jù)估計，居民消費的電力需求的長期價格彈性為1.2，收入彈性為0.2。電力與天然氣需求的交叉彈性為0.2。如果長期中電力價格上升1%，天然氣的價格需要變化多少才能抵消電力價格上升對電力需求量的影響？

解：（1）由于電力需求的長期價格彈性為1.2，因此電力價格上升1%將使電力消費減少1.2%。

（2）由于電力與天然氣需求的交叉彈性為0.2，兩者又是替代品，因此天然氣的價格上升1%，將導致電力的消費量增加0.2%。所以，天然氣的價格只有上升6%，才能抵消電力價格上升而減少的電力消費1.2%。

12．對某鋼鐵公司某種鋼的需求受到該種鋼的價格、鋼的替代品鋁的價格以及收入的影響，所估計的各種價格彈性如下：鋼需求的價格彈性；鋼需求對于鋁價格的交叉彈性；鋼需求的收入彈性

。下一年，該公司打算將鋼的價格提高8%。根據(jù)公司預測，明年收入將增加6%，鋁的價格將下降2%。

（1）如果該公司今年鋼的銷售量是24000噸。在給定以上條件下，該公司明年鋼的需求量是多少？

（2）如果該公司明年將鋼的銷售量仍維持在24000噸，在收入增加6%、鋁的價格下降2%的條件下，鋼鐵公司將把鋼的價格定在多高？

解：（1）根據(jù)題意，明年該種鋼的需求變動率為：

代入有關參數(shù)可得：

因此明年該種鋼的需求量為：（噸）。

（2）若該公司明年將該種鋼的銷售量維持不變，即該種鋼的需求變動率為0，則有：

代入有關參數(shù)可得：

求解可得，即公司將把該種鋼的價格提高2%。

13．表2-5是B物品的價格（）為8元和12元時A物品的需求表。

表2-5  A物品需求表

計算A物品為6、7、8三種價格時，A物品與B物品之間需求的交叉彈性，并填入表中第三欄（），然后判斷A物品和B物品是互補品還是替代品？

解：根據(jù)需求交叉彈性公式：，則有：

當時，需求交叉價格彈性為：；

當時，需求交叉價格彈性為：；

當時，需求交叉價格彈性為：。

由于商品B價格的提高會導致商品A需求量的增加，且交叉價格彈性系數(shù)為正數(shù)，因此商品A和商品B是替代品。

14．假設某市場由個人1和個人2組成，他們對商品的需求函數(shù)分別為：

其中，為商品的價格，、為個人1、個人2的收入。

（1）求商品的市場需求函數(shù)。

（2）計算對商品的市場需求價格彈性，商品和商品的需求交叉彈性。

（3）在個人1和個人2收入總和不變的條件下，通過收入再分配使得個人2的部分收入轉(zhuǎn)移到個人1，會對商品的需求產(chǎn)生什么影響？

解：（1）商品的市場需求為個人1和個人2對商品的需求量加總之和，即：

（2）根據(jù)商品的市場需求函數(shù)可得：，。

根據(jù)需求交叉彈性定義可得：；

根據(jù)需求交叉彈性定義可得商品和商品的需求交叉彈性為：

（3）若個人2轉(zhuǎn)移到個人1的收入用表示，那么收入再分配后，個人1、個人2的需求函數(shù)分別為：

商品的市場需求為個人1和個人2對商品的需求量加總之和，即：

收入再分配以后，商品的市場需求變化為：

因此，當時，商品的需求量增加；當時，商品的需求量不變；當時，商品的需求量減少。

15．若一國糧食市場的需求函數(shù)為，供給函數(shù)為。為支持糧食生產(chǎn)，政府決定對糧食進行每千克0.5元的從量補貼（產(chǎn)量單位為億噸，價格單位為元／千克）。試問：

（1）實施補貼后，糧食的均衡價格和均衡產(chǎn)量分別是多少？

（2）每千克0.5元的補貼在生產(chǎn)者和消費者之間是如何分配的？

（3）補貼之后的財政支出增加額是多少？

解：（1）當政府對廠商進行補貼后，供給函數(shù)變?yōu)椋?/p>

市場均衡條件為：，代入需求函數(shù)和供給函數(shù)可得：

求解可得均衡價格和產(chǎn)量分別為：（元），（億噸）。

（2）假設無政府補貼，市場均衡條件為：

求解可得均衡價格和均衡產(chǎn)量為：（元），（億噸）。

盡管政府補貼了廠商，但是消費者從中也可以得到好處。從兩個均衡價格的差價來看，消費者每千克糧食節(jié)省了1/3元，廠商每千克糧食多收1/6元。即在政府每千克0.5元的補貼中，消費者獲得了1/3元，廠商獲得了1/6元。

（3）補貼之后，政府財政支出的增加額為：（億元）。