5.3　 考研真題詳解

1．證明消費(fèi)者最優(yōu)決策的對偶性。[南開大學(xué)2009研]

答：可以從兩個角度看待消費(fèi)者的最優(yōu)決策。商品和的最優(yōu)選擇不僅可以分析成一個選擇與預(yù)算線相切的最高無差異曲線，即效用水平最大值的問題，也可以看成是一個選擇與既定的無差異曲線相切的最低預(yù)算線，即最小預(yù)算開支的問題。事實(shí)上，可以用對偶性這一術(shù)語來指代這兩個視角。

（1）獲得某個效用水平的成本最小化的問題

要使獲得某個效用水平的成本最小化，用數(shù)學(xué)語言表示為：

對應(yīng)的拉格朗日函數(shù)由下式給出：

式中，是拉格朗日乘數(shù)。就和求的微分，并令導(dǎo)數(shù)等于零，得到如下的支出最小化的必要條件：

通過整理可得：

所以，成本最小化選擇的和必定位于預(yù)算線與產(chǎn)生效用的無差異曲線的切點(diǎn)上。

（2）既定預(yù)算約束下的效用水平最大化的問題

既定預(yù)算約束下的效用水平最大化，用數(shù)學(xué)語言表示為：

對應(yīng)的拉格朗日函數(shù)由下式給出：

式中，是拉格朗日乘數(shù)。就和求的微分，并令導(dǎo)數(shù)等于零，得到如下的效用最大化的必要條件：

通過整理可得：

通過對比可以看出，成本最小化選擇的點(diǎn)與使效用最大化的點(diǎn)相同，所以對偶的支出最小化問題產(chǎn)生的需求函數(shù)，與直接的效用最大化問題所得出的需求函數(shù)相同。

2．當(dāng)收入和價格發(fā)生變化時，無差異曲線是否會發(fā)生改變和移動？請說明理由。[清華大學(xué)2003研]

答：當(dāng)收入和價格發(fā)生變化時，無差異曲線不會發(fā)生改變和移動。理由如下：

無差異曲線的一個重要性質(zhì)是任意兩條無差異曲線不能相交。該性質(zhì)的核心意義是任意無差異曲線表示特定效用量。無差異曲線的形狀和位置是由消費(fèi)者的偏好決定的，只要消費(fèi)者的偏好不發(fā)生變化，其無差異曲線就不會變動。

當(dāng)收入和價格發(fā)生變動的時候，消費(fèi)者的預(yù)算線將發(fā)生改變和移動，與無差異曲線的切點(diǎn)改變，從而使最終選擇發(fā)生變化，但這不會引起無差異曲線變動。

3．一名大學(xué)生即將參加三門功課的期終考試，他能夠用來復(fù)習(xí)功課的時間只有6小時。又設(shè)每門功課占用的復(fù)習(xí)時間和相應(yīng)會取得的成績?nèi)缦卤恚?/p>

請問：為使這三門課的成績總分最高，他應(yīng)怎樣分配復(fù)習(xí)時間？此時總分是多少？[西北大學(xué)2005研]

解：由該名大學(xué)生的效用表可得出該名大學(xué)生復(fù)習(xí)經(jīng)濟(jì)學(xué)、數(shù)學(xué)、統(tǒng)計學(xué)所獲得的相應(yīng)的邊際效用（對應(yīng)的是該名大學(xué)生復(fù)習(xí)各門功課取得的成績），如表5-6所示。

表5-6  該名大學(xué)生的邊際效用表

按照基數(shù)效用論的觀點(diǎn)，該名大學(xué)生應(yīng)選擇最優(yōu)的時間組合，使得自己花費(fèi)在各門功課上最后一個小時所帶來的邊際效用相等。根據(jù)表5-6，經(jīng)濟(jì)學(xué)用3小時，每小時的邊際效用是10分；數(shù)學(xué)用2小時，每小時的邊際效用是10分；統(tǒng)計學(xué)用1小時，每小時的邊際效用也是10分。而且所用總時間＝3小時＋2小時＋1小時＝6小時。由消費(fèi)者均衡條件可知，他把6小時作如上的分配時，這三門課的成績總分最高。

注意，如果經(jīng)濟(jì)學(xué)用4小時，數(shù)學(xué)用3小時，統(tǒng)計學(xué)用2小時，每小時的邊際效用雖也相等，都是8分，但所用總時間=4小時+3小時+2小時=9小時，超過6小時。所以，此方案不可取。