你還記得在上一章中我們討論過的對稱嗎？而反函數就要從對稱和翻折說起。如果有一函數y=f(x)，那么它的反函數就是將其圖像沿著y=x這樣一條斜線進行翻折后得到的圖。但是這種翻折也不是絕對的，我們還需要考慮定義域等因素。所以嚴謹一些的說法應該是：讓該函數的某一部分沿著y=x的圖像進行翻折。

有的讀者可能就會問：“這么折騰來折騰去，求反函數有什么意義嗎？”

一般來說，反函數和原函數的自變量和因變量對調，拿第1章的例子來說，即我們可以通過縮印用了多少頁紙推算出原本需要印多少頁的資料。而拿本章的例子來說，即通過測量面團的近似半徑來求出它的重量。因此，反函數常被用于天文學和經濟學等學科的部分計算中。

如果某函數 x=f(y)^注44，它在 某一段^注45內是 單調的^注46，并且具備可導的性質，滿足f′(y)≠0。

要求f′(y)≠0的原因是，如果f′(y)=0，則說明它在此處是一條水平的線，那么經過翻折得到的反函數就一定有一段線是垂直的，而一條垂直的線的導數是沒有意義的，也就是其不存在導數。既然這樣導數不存在，那么我們就沒有辦法求它的導數了。

把x=f(y)的反函數寫作y=f^-1(x)，我們可以這樣理解：f^-1表示的是f的反函數，由于自變量和因變量的位置需要交換，所以就寫成了y=f^-1(x)。

按照之前學過的求極限的方法，我們在該函數的指定區間內，任取不重合的兩點——x和x+Δx。因為我們事先規定過x=f(y)在這一段中是單調的，那么我們就可以推出，經過翻折后得到的反函數y=f^-1(x)在同一段中也是單調的。既然它是單調的，那么則有：

Δy=f^-1(x+Δx)-f^-1(x)且Δy≠0

于是就有：