3.7　導數公式推導示例

對于大家來說，可能最難以理解的就是中間這一步，即

是怎么來的了。首先，因為等式兩邊的極限運算符沒有變，所以說明這一步并沒有做極限的運算。那么就有x+x₀^n-1，想要驗證這樣一個式子，思維活躍的讀者可能已經發現，只需要把左邊分母上的x-x₀挪到右邊去，就可以完成驗證了。

現在我們以更科學的方法來檢驗這個等式：首先，我們在等式右邊乘以x-x₀，可得：

(x^n-1+x₀x^n-2+x₀²x^n-3+…+x₀^n-2x+x₀^n-1)(x-x₀)

把括號打開，則有：

x^n-1·(x-x₀)+x₀x^n-2·(x-x₀)+x₀²x^n-3·(x-x₀)+…+x₀^n-2x·(x-x₀)+x₀^n-1·(x-x₀)

再將括號打開則有：

xⁿ-x₀x^n-1+x₀x^n-1-x₀²x^n-2+…+x₀^n-2x²-x₀^n-1x+x₀^n-1x-x₀ⁿ

消去中間能夠抵消的項，就有：

x_n-x_0n

所以，我們就得到了：

(x^n-1+x₀x^n-2+x₀²x^n-3+…+x₀^n-2+x₀^n-1)(x-x₀)=xⁿ-x₀ⁿ

如果在等式兩邊同時除以x-x₀，則有：

這樣我們就知道了這一步是怎么計算的，而這實際上是一種計算經驗，當你足夠熟練的時候，就可以自如地寫出這樣簡單的式子來了。