2.9 重要極限為何重要
在學校，老師會告訴你：大部分求極限的題目中都可以視為考察重要極限公式。日本著名數學教育家 米山國藏注25先生說過：“作為知識的數學，出校門不到幾年可能就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的數學的精髓、數學的思想研究方法和著眼點等，才會隨時隨地發生作用，使人們終身受益。”兩個重要極限在微積分思想中起著舉足輕重的作用，對深入了解極限理論具有決定性的指導意義。
假設有一個邊長為1的等邊三角形，將每條邊三等分，然后再以兩個等分點為端點，向外畫一個邊長為其三分之一的等邊三角形，這樣便可以得到一個六角形。現在取六角形的每個邊，反復做同樣的變換，如圖2-11所示。
圖2-11
當重復無數次這樣的操作之后，深灰色部分的面積是如何變化的呢？這樣的變化會停止嗎？如果會停止，那么該區域最終會變成什么樣子呢？如果不會停止，它會以什么樣的趨勢發展下去呢？
現在你可以說：“我也懂高等數學了！”看，那些理工學霸們會的花哨小玩意兒也不過如此嗎。
之前說過的導數的表示方法。最常見的導數表示方法自然是 拉格朗日注26的方法。
但是，函數求導后得到的導函數(即求導后的函數)有時需要再次求導。這樣就有了二階導數。拉格朗日想出的方法是，在函數的上標的位置加兩個撇來表示二階導數。但是，還有三階導數、四階導數、五階導數、六階導數，甚至是十幾階或者是二十幾階的導數。萬一遇到求幾百階幾千階的導數的話，如果還用拉格朗日的畫撇方法，可能光是畫撇就要畫上好幾分鐘甚至個把小時。于是就出現了一種將拉格朗日的表示方法簡化了的表示方法。即在函數上標的位置上畫一對兒小括號來表示求導，括號內的數值則表示求幾階導數。如f(x)的五階導數可以寫成f(5)(x)。
圖2-12 萊布尼茨
圖2-12中是微積分的另一位發明者萊布尼茨。萊布尼茨在科學領域的貢獻分散在各種學術期刊、成千上萬封信件和未發表的手稿中，其中約有四成為拉丁文、約有三成為法文、約有一成五為德文。截止2010年，萊布尼茨的作品還沒有收集完全。2007年，戈特弗里德·威廉·萊布尼茨圖書館暨下薩克森州州立圖書館收藏的萊布尼茨手稿被收入聯合國教科文組織編寫的世界記憶項目。
萊布尼茨是最早接觸中華文化的歐洲人之一，他從一些曾經前往中國傳教的傳教士那里接觸到中國文化，之前應該也通過馬可·波羅引起的“東方熱”了解過中國文化。法國漢學大師若阿基姆·布韋曾向萊布尼茨介紹了[ 《周易》注27和八卦的系統。在萊布尼茨眼中，“陰”與“陽”基本上就是他的 二進制注28的中國版。他曾斷言： “二進制乃是具有世界普遍性的、最完美的邏輯語言”。今天在德國圖林根著名的郭塔王宮圖書館內，仍保存一份萊氏的手稿，標題寫著“1與0，一切數字的神奇淵源。”
萊布尼茨一生中最大的貢獻就要數發明了一套簡單明了的微積分符號。但是我們為什么不用萊布尼茨發明的導數符號來表示導數，而是使用了拉格朗日發明的符號呢？實際上，萊布尼茨發明的符號體系在物理學和醫學等諸多專業領域中有著非常廣泛的應用。在第10章我們就會見到萊布尼茨的符號在醫學領域的應用。不得不說萊布尼茨發明的符號之所以能夠保留至今，是因為他的符號能夠最簡單明了的表明求幾階導、參與求導的是哪一個變量。而且非常清楚地說明了導數實際上是求極限。圖2-13展示的是萊布尼茨的手稿，在這份手稿中就有萊布尼茨自己發明的微積分符號。
比如為第1章涉及的多元函數求導，就會有到底是x1參與求導，還是x2參與求導的問題。即使兩個自變量都要 求導注29，它們之間也有先后順序。
這時候拉格朗日的方法就不再適用了，一般我們都會選擇適用萊布尼茨的表示方法。
圖2-13
我們知道在橫縱坐標都去極限的情況下，導數所表示的是非常小的直線段，導數的值恰好是該線段的垂直跨度比上它的水平跨度，而這正是一次函數y=kx+b中斜率k的求法。所以導數也被認為是曲線上的點的斜率。如果曲線上某點的斜率不存在，我們就可以認為其導數不存在。
現在我們可以直接從導數的表達形式看出，導數的幾何意義是斜率，這是萊布尼茨的表示方法的另一個優點。
若干個巫婆和一個公主共同居住在一個小島上。如果一個巫婆吃掉公主，她就會變成公主。但這樣她也會失去自己的法術，因此就有可能會被其他巫婆吃掉。假如所有巫婆在能夠保命的情況下，都希望自己能夠變成公主，那么在有20個巫婆的情況下，公主能不能安全地生活在島上呢？
提示：和第1章中提到的海盜的問題一樣，我們還是來建立一個比較簡單的模型，然后將其一點點復雜化，這樣就可以知道答案了。
假如只有一個巫婆和公主生活在島上，那么巫婆肯定會吃掉公主。因為她知道在吃掉公主之后，也沒有人能威脅她了。
如果有兩個巫婆和公主一同生活在島上，公主會不會安全呢？答案是肯定的。因為如果哪個巫婆先吃了公主的話，就會變成一個公主和一個巫婆的情況，那么先吃掉公主的巫婆就會被另一個巫婆吃掉。為了保命，兩個巫婆都不敢去吃公主，所以公主會是安全的。
接下來再讓模型復雜一點。如果有三個巫婆的話，她們中肯定有一個會先吃掉公主。因為這樣就變回了上一段中的情況，剩下兩個巫婆誰也不敢吃她，因為先吃她的巫婆肯定會被另一個吃掉。
然后再讓模型復雜一點點，當有四個巫婆的時候，如果有誰先吃了公主，那么馬上就會變成三個巫婆的情況，那時誰也不敢先吃公主。所以公主是安全的。
根據這樣的規律，當島上有奇數個巫婆的時候，巫婆會先下手為強吃掉公主；當島上的巫婆是偶數個的時候，所有巫婆都不敢先吃公主，以避免變為奇數個巫婆的情況之后自己被吃掉。由此我們就得出了這樣的結論：
當島上的巫婆是偶數個的時候，公主能安全地生活在島上。題目中說島上有20個巫婆，而20顯然是個偶數，所以公主能安全地生活在島上。