2.8　兩個重要極限之二

顯然，∠BOA小于九十度。我們過去學(xué)到的，形為“九十度”的表示方法叫做角度制。角度制是指將一個圓周等分成三百六十份，每一份便被稱為一度的角。這種表示方法有個不可避免的缺點，就是難以和圓的相關(guān)公式更直接地產(chǎn)生關(guān)聯(lián)。于是就產(chǎn)生了 弧度制^注23。弧度制是指，以角的頂點為圓心畫一個半徑為1的圓。用角所對應(yīng)的弧長長度表示角的大小的單位制。

在圖中，存在S_ΔAOB＜S_扇形AOB＜S_ΔAOD，這里S表示某一圖形的面積。

根據(jù) 計算^注24，我們可以用表示S_ΔAOB。同理我們分別用和表示S_扇形AOB和S_ΔAOD。

所以，我們可以把S_ΔAOB＜S_扇形AOB＜S_ΔAOD寫成。消去分母后，該不等式變?yōu)椋?/p>

sinx＜x＜tanx

之后只需為不等式各項都除以一個sinx，即可得到：

經(jīng)整理后，有：

一些讀者可能會對為什要這樣整理產(chǎn)生疑問。一種解釋是因為在書寫上cosx比更為美觀。但這種解釋缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性和說服力。另一種解釋較為復(fù)雜，簡而言之是因為cosx和都是偶函數(shù)，所以不需要考慮x的值是正數(shù)還是負(fù)數(shù)。

根據(jù)cosx的函數(shù)圖像可知：。既然當(dāng)x→0時，的取值范圍是從cosx到1。我們就可以說。這就是我們的另一個重要極限。當(dāng)然我們也可以通過觀察圖2-10，即的函數(shù)圖像得知這一點。

圖2-10

也許有讀者要問，既然可以通過函數(shù)圖像得知，那么為什么一定要采用大段的證明呢？這是因為在這些理論被提出的時代，還沒有計算機(jī)，更不要說是能夠自動生成函數(shù)圖像的軟件。如果想重現(xiàn)那不借助函數(shù)圖像的證明方法，就必須要證明，相關(guān)的內(nèi)容我們會留到第3章再做說明。