在介紹另一個(gè)重要極限之前，我們先來了解一下什么叫無窮小。無窮小并不是無窮大(∞)的相反數(shù)。按照之前取極限的說法，當(dāng)x→0時(shí)，x、x³和sinx等函數(shù)的值都是無窮小。有一種不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼f法是：可以把無窮大的倒數(shù)理解為無窮小。這種說法來源于。對(duì)于這種不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼f法，我們很容易就能找出一個(gè)反例：

假如我們?cè)O(shè)了一個(gè)變量，它的大小是無窮大的話。那么它的平方是不是等于它本身呢？

如果我們假設(shè)x²=∞，那么就可以推導(dǎo)出x=x²。顯然，如果要使x=x²成立，x應(yīng)等于1或0而1和0都不是無窮大。由此推出之前的假設(shè)是不成立的。此時(shí)我們發(fā)現(xiàn)，雖然x和x²都是無窮大，但它們是不相等的。

而相同的情況也出現(xiàn)在無窮小中。

前面說過，當(dāng)x→0時(shí)，x、x³和sinx等函數(shù)的值都是無窮小，而且無窮大之間不相等的情況也會(huì)出現(xiàn)在無窮小中。既然無窮小不相等，那么它們之間是否存在大小關(guān)系呢？換句話說， 我們能不能比較出兩個(gè)無窮小的大小呢^注22？我們用、和分別表示當(dāng)x→0時(shí)的x、x³和sinx。當(dāng)需要比較兩數(shù)值大小時(shí)常用的方法為兩數(shù)相減和兩數(shù)相除，這里我們選擇兩數(shù)相除的方法。

我們來比較和：

欲比較和的大小，只需將兩數(shù)相除。則有。

綜上所述，的低階無窮小。而比較無窮小之間大小的方法總結(jié)如下：

當(dāng)時(shí)，β是α的高階無窮小；當(dāng)時(shí)，β是α的低階無窮小；當(dāng)=非零常數(shù)時(shí)，β是α的同階無窮小。特殊地，當(dāng)=1時(shí)，β是α的等價(jià)無窮小。