2.8 矩陣的逆

相對于其他線性代數概念來說，矩陣的逆比較容易理解。一些向量或者矩陣經過某個矩陣（例如矩陣A）線性變換后會得到新的矩陣。我們還可以將這個變換過程反向進行一遍，將結果矩陣變回原來的樣子，這個過程就是矩陣的逆向操作，簡稱矩陣的逆。這個反向變換過程中用到的矩陣稱為逆矩陣，例如A的逆矩陣表示為A-1。

圖2-14中的向量x通過矩陣A做變換后，得到向量v，如果將v通過A-1還原回去，就會得到向量x，用式子表示就是x=A-1 · v。

圖2-14 向量x通過矩陣A做變換

在探討逆矩陣的過程中，需要思考一個問題：所有的矩陣線性變換都能逆向操作嗎？圖形是最便于理解的工具，下面以圖形為例說明一個矩陣是否存在逆矩陣的問題。

首先用一個矩陣對二維的標準直角坐標系做如圖2-15所示的線性變換，該變換就是讓兩個坐標軸向彼此靠近。

圖2-15 向內“壓縮”坐標系

經過某矩陣的線性變換， x和y兩個坐標軸逐步接近，最終合并為一個坐標軸，如圖2-16所示。

在圖2-16中，左圖中的線性變換結果完全可以恢復為標準平面直角坐標系，但是如果兩個坐標軸在線性變換后合并了，一個二維空間變換為了一維空間，像右圖所示那樣，這時就無法分離出x軸和y軸了。當合并為一個坐標軸后， det（ A）等于0，意味著空間已經被壓縮到丟失維度的程度了，而丟失的維度是無法復原的。

圖2-16 兩個坐標軸逐步靠近直到合并的過程

因此，不管A能做出多么奇特的變換，只要保持原有空間的維度，就可以還原如初，就存在A的逆矩陣。但是如果丟失了維度，就不再可逆了。