2.3 線性組合的幾何意義

假設存在兩個不共線的向量，分別對它們做數乘運算，然后再相加，就可以組合出坐標系中的任何向量，這一過程就是線性組合。值得一提的是，參與組合的一對向量不能是零向量，因為對零向量數乘所得到的向量永遠是零向量。如果其中任何一個向量是零向量，那么討論線性組合就沒有意義了。

線性組合的幾何意義如圖2-7所示。假設有實數a和b、不共線向量v和w， p向量是它們線性組合的結果向量，即p=av+bw，那么p可以是二維空間中的任意向量（圖中的多個箭頭代表任意可能的向量）。

換一個角度來描述，如果向量p固定，則不論向量v和w怎么變，都存在一組系數，使v和w僅通過一次組合就得到這個p。

理解向量的幾何意義，是為了更好地理解坐標系和線性組合的關系。2.1節中講過，向量和是標準平面直角坐標系的基向量，因為它們不共線，也都不是零向量，所以它們可以通過線性組合表示出整個二維空間中的任意向量。

反過來說，在一個標準平面直角坐標系中，任何一個向量都可以看作向量和的線性組合。例如，向量。

如果分別將（1, 0）和（0, 1）表示為向量x和y，那么向量3x+4 y可以表示為（3, 4），也就是說向量（3, 4）是x和y的線性組合。由于（1, 0）和（0, 1）兩個向量是該坐標系的基向量，所以對它們所乘的數值就直接代表相應坐標值，因而可以直接寫成（3, 4）。

但是，如果在不是以（1, 0）和（0, 1）為基向量的坐標系中，就不能省略（1, 0）和（0, 1）兩個向量了。例如，圖2-8中的虛線坐標軸形成了一個新坐標系，它的基向量已經不再是原來的（1, 0）和（0, 1）了。所以如果仍然用（1, 0）和（0, 1）向量在新坐標系中表示其他向量，就不能省略（1, 0）和（0, 1）。

假設（1， 0）和（0， 1）在新的坐標系中分別對應（x1 ，y1 ）和（x2 ，y2 ） ，則坐標（3， 4）在新坐標系中的位置就要表示為下式：

其實還可以用另一種寫法來表示線性組合：將兩個基向量合并起來，寫在一起，如下式：在新坐標系中表示如下：

我們在這里提前看到了矩陣的寫法：就是一個矩陣。

什么是矩陣呢？矩陣是由一組維數相同的向量構成的數字陣。

· 坐標系內的向量都是由基向量線性組合而成的。

· 同一向量放在不同坐標系內，對應的坐標不同。

現在再來看2.1節中的式子：

上式可以解讀為：標準平面直角坐標系中的點（2， 6）在坐標系（可以將矩陣看成坐標系的一種表示方法）中的位置。