2.4 線性空間

如果兩個向量不共線，又都不是零空間（見2.10節(jié)），則它們是線性無關(guān)的；反之，如果兩個向量共線，則它們是線性相關(guān)的。根據(jù)前文所述，標(biāo)準(zhǔn)平面直角坐標(biāo)系的兩個基向量符合線性無關(guān)的條件。

標(biāo)準(zhǔn)平面直角坐標(biāo)系中的兩個基向量，可以通過線性組合生成該平面內(nèi)的所有向量，這些向量的合集就是這兩個基向量的線性空間，本質(zhì)就是兩個基向量張成的平面空間。在三維空間中，任意兩個線性無關(guān)的向量張成的平面，就構(gòu)成了這兩個向量的線性空間。

接下來要考慮一個問題，在前面的講述中隱含了一個事實：默認(rèn)二維空間的基向量有兩個，三維空間的基向量有三個，為什么是這樣的呢？我們從二維空間開始考慮，假設(shè)有基向量i和j，以及任意向量v，則無論v是怎樣的，都可以用i和j通過線性組合得到，也就是說如果再增加向量作為第三個基向量，就會和原來的兩個基向量是線性相關(guān)的，因此是多余的。延伸到三維空間也是同樣道理，三個基向量已經(jīng)能通過線性組合得到三維空間中的所有向量，再增加向量同樣會出現(xiàn)線性相關(guān)的情況。

通過上述分析可以得到結(jié)論：有了基向量，就有了坐標(biāo)系；如果改變基向量，由基向量組合而成的空間或者說整個坐標(biāo)系就會發(fā)生根本性的變化，可能是在原來狀態(tài)上的拉伸、壓縮、或旋轉(zhuǎn)。