2.1.2 改變坐標系的基向量

以上示例算式成立的前提是，坐標系都是以（1, 0）和（0, 1）作為基向量的。如果不以這兩個向量作為基向量，會發生什么呢？

當我們把標準的平面直角坐標系中的基向量修改以后，就會得到新的坐標系。

例如，應該怎么解讀下式呢？

這看來很不尋常，（1, 0）和（0, 1）向量可以理解為標準平面直角坐標系的基石，離開了這兩個向量，標準平面直角坐標系將不復存在。上式的初衷是想表達（2, 6）這個向量，但是因為基向量不再是（1, 0）和（0, 1），而變成了（0, 1）和（-1, 0），所以最終得到的是另一個向量。

基向量可以是不標準的（即不是（1, 0）和（0, 1）），這就會得到一個改變了基向量的平面坐標系，在我們看來會覺得它是變形的甚至翻轉的。但是，我們的判斷也許是片面的，因為在那個“變形”的坐標系內看標準平面直角坐標系，也會覺得是“變形”的。如果從這個角度深入思考，總會讓人感覺不是在思考線性代數，而是哲學。你認為真實的世界只是因為它看起來更符合你的認知。

2.3節將會從線性組合的角度進一步解釋這個問題。

延伸一下，我們來看一個移動端的計算機視覺場景，如圖2-3所示。人眼看到的世界和手機“眼”（攝像頭）看到的世界完全不相同。如果將人眼和手機攝像頭看到的圖都用坐標系來描述，它們的基向量也將是完全不相同的。

但是，那盆綠植是相同的，只是我們人類和手機看到的世界不同而已。

利用線性代數的知識，可以描述人眼中和手機內兩套坐標系的關系，還能從其中一個坐標系推導出另一個。在視覺攝像頭場景中，經常需要利用線性代數的知識轉換坐標系。

如果能在不同觀察視角的坐標系之間自如轉換，就可以解決一些常見的計算機視覺相關的問題。例如，我們想在綠植上面加一朵虛擬的花，即便手機發生了一些位移，也可以讓虛擬的花朵穩定地保持在綠植的固定位置上。

與移動端深度學習密切相關的技術非常多，視覺技術方向在研發過程中也會涉及多種技術。將深度學習和視覺技術同步落地是非常重要的，兩者往往缺一不可，而這兩種技術都需要用到線性代數知識。

本章試圖以直截了當的方式快速進入線性代數世界，但是這樣難免會帶來很多疑問，不過沒關系，你可以帶著這些疑問閱讀下面的內容。接下來先看一下向量的幾何意義。