2.4　協(xié)方差分析的功能與注意事項

自Fisher（1932）提出協(xié)方差分析方法以來，越來越多的使用者認(rèn)為只要運用得當(dāng)，ANCOVA是一個非常有用的工具。ANCOVA可以在實驗研究（experimental research，其特點是抽樣的隨機(jī)性和分配的隨機(jī)性）的設(shè)計中控制干擾變量（協(xié)變量），從而提高檢驗力的敏感性，也可以在非實驗研究（non-experimental research，一般以調(diào)查等方式為主，往往無法保證上述隨機(jī)性）中消除系統(tǒng)偏差、減少誤差方差。所謂系統(tǒng)偏差是指各組在與因變量變化有關(guān)的重要變量上存在系統(tǒng)差異。如果有系統(tǒng)偏差的話，各組接受不同的處理后，因變量出現(xiàn)顯著性差異，追究其原因可能是由不同處理造成的，也可能是實驗開始時各組在這個重要變量上不相等造成的。協(xié)方差分析就是通過調(diào)整因變量來校正實驗開始時各組本身存在的差異。關(guān)于誤差方差，很多書里常常會提醒讀者在單因素方差分析變異源中的誤差方差（組內(nèi)方差）是個大雜燴，凡是無法解釋的變異通通歸為誤差源中。而協(xié)方差分析將協(xié)變量的變異從誤差變異中單獨列出來以減少誤差變異，從而增加了檢驗力。查看上面圖2.10與圖2.11中的誤差變異即可明白。

盡管協(xié)方差分析只是在方差分析模型中增加了一個或數(shù)個協(xié)變量，但是如果忽視了協(xié)變量的質(zhì)量與選擇，會給統(tǒng)計結(jié)果的解釋帶來很大的麻煩。對于初學(xué)者來說應(yīng)該注意以下幾個方面。

（1）協(xié)變量與自變量獨立。

從一般線性模型（general linear model）的角度來看，協(xié)方差分析中的協(xié)變量與分組變量都是自變量，其中協(xié)變量是連續(xù)變量，自變量是離散變量或分組變量。協(xié)變量與自變量相互獨立，是指協(xié)變量的變化不受分組影響（即假設(shè)各組協(xié)變量的樣本平均值間的差異是由抽樣誤差造成的）。在圖2.13（a）中，因變量的總方差由Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三部分組成，其中Ⅰ是因變量自身引起的方差，Ⅱ是協(xié)變量解釋的方差，Ⅲ是由自變量解釋的方差；因變量的誤差方差由Ⅰ與Ⅱ組成。刪除了協(xié)變量方差后，即調(diào)整后的因變量的誤差方差就剩下Ⅰ，調(diào)整后的總方差為Ⅰ與Ⅲ之和。

然而如果協(xié)變量與自變量無法保證相互獨立，各變量的方差結(jié)構(gòu)就變得復(fù)雜起來。觀察圖2.13（b）中增加的Ⅳ與Ⅴ兩部分。因變量的總方差隨即變成由Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四部分組成；Ⅳ既是協(xié)變量解釋的方差又是自變量解釋的方差，Ⅴ是自變量方差中由協(xié)變量解釋的部分。盡管調(diào)整后的誤差方差（Ⅰ）與調(diào)整后的總方差（Ⅰ+Ⅲ）結(jié)構(gòu)不變，但是處理與解釋Ⅳ與Ⅴ這兩部分的方差是比較困難的。因為在這種情況下，調(diào)整后的誤差變量（參見公式（2.2）），消除了協(xié)變量影響的同時也會消除一部分自變量的效應(yīng)。一般來說，若事先了解到協(xié)變量與自變量相互獨立的話，例如保證分組的隨機(jī)性或者事先掌握了自變量的分組對于協(xié)變量沒有差異等信息，有助于協(xié)方差分析結(jié)果的解釋。

圖2.13　協(xié)方差分析中因變量方差結(jié)構(gòu)示意圖

（2）協(xié)變量的選擇。

所謂協(xié)變量，是指與因變量有關(guān)的但又不是研究對象的一類連續(xù)變量。Miller和Chap-man曾經(jīng)舉出一些協(xié)變量選擇不當(dāng)?shù)睦印＠缒挲g為協(xié)變量，年級為分組變量，由于這兩個變量相關(guān)性很高，協(xié)方差分析就變得沒有意義；又如在心理病理學(xué)中，抑郁與焦慮情緒同時出現(xiàn)的可能性很大，若將焦慮測量的得分作為協(xié)變量處理，抑郁測量的得分的殘差便缺少良好的結(jié)構(gòu)效度。因此協(xié)變量的確定是協(xié)方差分析中極為重要的一環(huán)，尤其是在準(zhǔn)實驗研究和非實驗研究中更需慎重，因為在這兩類研究中可以不必滿足分組的隨機(jī)性這一前提條件。

（3）協(xié)變量的信度與數(shù)量。

觀察協(xié)方差分析的數(shù)學(xué)模型（2.1）式，其中的誤差分?jǐn)?shù)εij表示第i個個體所有能夠影響因變量的無法控制的變異源。它是只與因變量有關(guān)的隨機(jī)變量，不包括協(xié)變量的隨機(jī)誤差。這就要求協(xié)變量需有相當(dāng)高的信度。理論上協(xié)變量中不允許誤差存在，但在實際上又是不可能的。因此一般我們要求協(xié)變量的信度至少要在0.8以上。

在前面的說明中，我們重點介紹了單因素協(xié)方差分析，即只有一個協(xié)變量和一個自變量。其實協(xié)變量可以有多個，依研究的實際需要而定。一般來說，我們希望這些協(xié)變量與因變量有中等程度以上的相關(guān)，但協(xié)變量之間的相關(guān)性要盡可能低，否則會出現(xiàn)共線性問題（詳細(xì)解釋見第3章）。在實際應(yīng)用時，協(xié)變量個數(shù)盡量少些是一種明智的選擇。那么是否有較為具體的標(biāo)準(zhǔn)呢？1980年Huitema提出了計算協(xié)變量合理個數(shù)的公式：[C+（J-1]）/N≤0.1。其中，C為協(xié)變量的數(shù)量，J為處理組數(shù)，N為被試總數(shù)。例如有三個處理組，被試總數(shù)為30，則C≤1，即最多只能有1個協(xié)變量。Huitema指出，若[C+（J-1]）/N＞0.1，即使協(xié)方差分析的F檢驗正確，調(diào)整后平均值的估計值也會十分不穩(wěn)定。