§2.6　回歸分析的應用——預測

一、預測概述

計量經濟分析的目的之一就是預測。預測是關于未來事件可能結果的估計，對結果的估計依賴于過去和現在的信息。而預測信息就包含在回歸分析模型中。把模型結果外推到樣本區間以外，就能對被解釋變量的未來值進行預測。

在時間序列分析中，預測就是指對事物未來狀態的估計。在截面數據分析中，預測分析同樣適用，此時的目的是預測當X取特定值X0時，Y的可能結果值為Y0。

點預測就是對預測對象的未來值給出一個估計值，區間預測就是給出預測對象實際值的一個置信區間。

由預測分析得到的信息有許多用途。經濟系統中，預測常常用來指導經濟政策和方針的制定。當預測到經濟系統將出現高通貨膨脹時，政府往往會提前采取緊縮的政策。當預測石油價格會上漲時，人們會增加石油的儲備。預測結果還能用于指導建立模型。當預測結果與實際結果相差較大時，會利用誤差信息對模型進行修正。

預測分事后模擬預測和事先預測。事后模擬預測指對樣本區內已知Y的結果值的區間進行估計，也稱為模擬值。事先預測指對樣本區外未知Y的結果進行估計。

二、均值預測

在收入-消費模型中，我們得到樣本回歸模型為

其中是對應于給定Xi的Yi的總體均值E（Yi）的估計量。均值預測就是預測對于給定的X0，Y的條件均值的值，也就是預測總體回歸線本身上的點。

利用式（2.82）進行預測，假定X0=2000，我們對Yi的均值E（Y｜X0=2000）進行預測，預測的點估計為

其中是E（Y｜X0）的估計量。可以證明，這個點預測是一個最佳線性無偏估計量。

是一個估計量，不同于它的真實值E（Y｜X0）。因為是隨機變量，的函數，因此，也是一個隨機變量。

可以證明，是服從正態分布的，其均值為β1+β2X0，而方差為

用σ2的無偏估計量代替式（2.84）中的σ2，可得

其中se（）代表的標準誤。可以證明，式（2.85）中t服從自由度為n-2的t分布。據式（2.85）可得到E（Y｜X0）的置信區間為

根據收入-消費例中數據（表2.4）可得

由此，可得到真實均值E（Y｜X0）=β1+β2X0的95%置信區間為

即

上式的意義為，給定X0=2000，在重復抽樣中，每100個類似式（2.87）的區間將有95個包含著真實的均值；真實均值的單個最優估計就是點估計值1683.879。

對表2.4中的每個X值求類似于式（2.87）的置信區間，并把這些置信區間在二維直角坐標系中聯結起來，我們就得到如圖2.7所示的一個關于總體回歸模型的置信域。

三、個值預測

如果我們想預測個別家庭的消費支出，即預測對應于給定X值（X=X0）的單個Y值（Y=Y0），其點預測為=+X0，為Y0的最佳線性無偏估計量。個值預測的點預測與均值預測的點預測結果相同，但其方差不同，區間預測的結果也不同。其方差為

可以證明，用代替σ2時，

服從t分布，可根據t分布推斷Y0的置信區間，即對Y0進行區間預測。

在個值預測中，Y0-=，代表預測誤差。的來源有兩個，一個是的抽樣誤差，來自于我們對βj的估計，即Var（），它隨樣本容量的增大而變小。另一個是總體誤差項u的方差σ2，它不隨樣本容量的變化而變化。

據式（2.89），可得到個值預測的置信區間為

以收入-消費模型為例進行個值預測。Y0的點預測與的點預測一樣，同樣是1683.879.在5%的顯著性水平下，X0=2000時，（Y0-）的方差和標準誤為

則Y0的置信區間為

即

可以看出個值預測的置信區間比均值預測的置信區間要寬。這是因為個值預測的誤差除了來源于抽樣波動外，還來源于誤差項u的隨機擾動，而均值預測的誤差來源僅僅為抽樣波動。

據表2.4中的每個X值求類似于式（2.91）的置信區間，并把這些置信區間在二維直角坐標系中聯結起來，我們就得到如圖2.7所示的一個關于Y的個值預測的95%的置信域。

在圖2.7中，置信區間的寬度是隨著X0與的距離而變化的。時，寬度最小。隨著X0遠置信區間的寬度變大。由此可知樣本回歸線對未來結果的預測能力隨著X0遠越來越低。因此，當進行均值或個值預測時，就必須慎重考慮它的可靠性。預測點距離樣本期越遠，其可靠性就越差。