§5　向量的混合積

5.1　向量的混合積的幾何意義和性質(zhì)

如何利用向量來(lái)計(jì)算幾何體的體積？由于計(jì)算幾何體的體積可以歸結(jié)為計(jì)算平行六面體的體積，因此我們來(lái)討論平行六面體ABCD-A′B′C′D′（如圖1.28）.設(shè)則底面積為|a×b|，高為其是c在方向（a×b）0上的內(nèi)射影.因此

從而平行六面體的體積為

a×b·c稱(chēng)為向量a,b，c的混合積.上述表明，|a×b·c|表示以a,b，c為棱的平行六面體的體積.若a×b·c＞0，則夾角〈a×b,c〉為銳角，由于（a,b，a×b）構(gòu)成右手系，于是（a,b，c）此時(shí)也構(gòu)成右手系.由類(lèi)似的討論知，若a×b·c＜0，則（a,b，c）構(gòu)成左手系.因此a×b·c的正負(fù)可判斷（a,b，c）是右手系還是左手系.若在平行六面體的同一頂點(diǎn)上的三條棱之間規(guī)定好一個(gè)順序（a,b，c），則稱(chēng)這個(gè)平行六面體的定向?yàn)椋╝,b，c）.對(duì)于定向平行六面體，可以給它的體積一個(gè)正負(fù)號(hào)：如果它的定向（a,b，c）構(gòu)成右手系，則它的體積規(guī)定為正的；如果它的定向（a,b，c）構(gòu)成左手系，則它的體積規(guī)定為負(fù)的.這叫作定向平行六角面體的定向體積.于是，混合積a×b·c表示了定向?yàn)椋╝,b，c）的平行六面體的定向體積.

由混合積的幾何意義立即得到

命題5.1　三個(gè)向量a,b，c共面的充分必要條件是

a×b·c=0.

混合積有以下兩條常用的性質(zhì)：

（1）a×b·c=b×c·a=c×a·b；

（2）a×b·c=a·b×c.

證明（1）因?yàn)閨a×b·c|，|b×c·a|，|c×a·b|都表示以a,b，c為同一頂點(diǎn)上的三條棱的平行六面體的體積，所以它們相等.又因?yàn)槿簦╝,b，c）為右（左）手系，則（b,c，a）和（c,a，b）均為右（左）手系，所以

a×b·c=b×c·a=c×a·b.

（2）a×b·c=b×c·a=a·b×c.

性質(zhì)（2）說(shuō)明三個(gè)有序向量a,b，c的混合積與“×”，“·”的位置無(wú)關(guān)，因此可把a(bǔ)×b·c記成（a,b，c）.要注意的是，a·b×c仍然是要先作外積b×c，后作內(nèi)積a·（b×c），反之則沒(méi)有意義.

5.2　用坐標(biāo)計(jì)算向量的混合積

取一個(gè)仿射標(biāo)架[O；d1，d2，d3]，設(shè)向量a,b，c的坐標(biāo)分別為（a1，a2，a3）T，（b1，b2，b3）T，（c1，c2，c3）T，則

由于d1，d2，d3不共面，所以d1×d2·d3≠0.于是得到

命題5.2　任意取定一個(gè)仿射標(biāo)架[O；d1，d2，d3]，設(shè)向量a,b，c的坐標(biāo)分別是（a1，a2，a3）T，（b1，b2，b3）T，（c1，c2，c3）T，則

定理5.1　若[O；e1，e2，e3]為右手直角標(biāo)架，a,b，c的坐標(biāo)分別為（a1，a2，a3）T，（b1，b2，b3）T，（c1，c2，c3）T，則

證明　因?yàn)閇O；e1，e2，e3]為右手直角標(biāo)架，所以e1×e2=e3，從而e1×e2·e3=e3·e3=1.于是由（5.2）式立即得到（5.3）式.□

定理5.1表明，以a,b，c為棱的平行六面體的定向體積等于以這三個(gè)向量的右手直角坐標(biāo)組成的3階行列式.這是3階行列式的幾何意義.

5.3　三向量（或四點(diǎn)）共面的條件

定理5.2　設(shè)向量a,b，c的仿射坐標(biāo)分別為

（a1，a2，a3）T，（b1，b2，b3）T，（c1，c2，c3）T，

則a,b，c共面的充分必要條件是

證明　由命題5.1和命題5.2立即得到.

推論5.1　設(shè)四點(diǎn)A,B，C,D的仿射坐標(biāo)分別為

（xi，yi，zi）T，i=1，2，3，4，

則A,B，C,D共面的充分必要條件是

這里我們指出，4階行列式可以沿任意一行（或一列）展開(kāi)，譬如上述4階行列式沿第4行展開(kāi)得

并且4階行列式也具有類(lèi)似于2階，3階行列式那樣的性質(zhì).

推論5.1的證明　A,B，C,D共面也就共面從而充分必要條件是

上式左邊的3階行列式等于

最后這個(gè)等式成立是因?yàn)榘炎筮叺?階行列式的第4列分別加到第1，2，3列上，這時(shí)行列式的值不變.綜上所述便得到我們所要的結(jié)論.

5.4　拉格朗日恒等式及其應(yīng)用

定理5.3　對(duì)任意四個(gè)向量a,b，c,d，有

（5.4）式稱(chēng)為拉格朗日（Lagrange）恒等式.

拉格朗日恒等式很有用，有人還稱(chēng)它為二維的勾股定理，這是因?yàn)橛伤梢宰C出下面例5.1所述的命題.

例5.1　證明：直角三棱錐^[2]斜面面積的平方等于其他三個(gè)直角面面積的平方和.

證明　設(shè)O-ABC是直角三棱錐，其中∠AOB=∠AOC=∠BOC=90°，△ABC是它的斜面，如圖1.29所示.我們有

由此即得所要證的結(jié)論.

*5.5　向量代數(shù)在球面三角中的應(yīng)用

設(shè)在中心為O，半徑為R的球面上，有不在同一大圓弧上的三點(diǎn)A,B，C.分別連接其中兩點(diǎn)的大圓圍成一個(gè)區(qū)域，稱(chēng)為球面三角形（如圖1.30），其中A,B，C是它的頂點(diǎn)；α，β，γ是它的邊，用邊所在的大圓弧的弧度來(lái)量度.邊β與γ所夾的角是指由β與γ分別所在的平面組成的二面角，仍記作A，稱(chēng)為球面三角形的內(nèi)角.

我們可以用向量法證明球面三角的下述公式：

（1）cosα=cosβcosγ+sinβsinγcosA（余弦公式）；

證明（1）設(shè)a,b，c分別是方向的單位向量.顯然角A是a×b與a×c的夾角.根據(jù)拉格朗日恒等式，有

又有

所以

cosα=cosβcosγ+sinβsinγcosA.

（2）由二重外積公式得

（a×b）×（a×c）=（a×b·c）a，

（a×b）×（b×c）=（a×b·c）b，

（a×c）×（b×c）=-（a×c·b）c=（a×b·c）c，

所以

由外積的定義可得

sin〈a,b〉sin〈a,c〉sinA=sin〈a,b〉sin〈b,c〉sinB

=sin〈a,c〉sin〈b,c〉sinC，

即

sinγsinβsinA=sinγsinαsinB=sinβsinαsinC.

由此即得正弦公式.

習(xí)題　1.5

1.證明：|a×b·c|≤|a||b||c|.

2.證明：若a×b+b×c+c×a=0，則a,b，c共面.

3.在右手直角坐標(biāo)系中，已知一個(gè)四面體的頂點(diǎn)A,B，C,D的坐標(biāo)分別是

（1，2，0）T，（-1，3，4）T，（-1，-2，-3）T，（0，-1，3）T，求它的體積.

4.證明：（a×b,b×c,c×a）=（a,b，c）2.

5.證明：

（a×b）·（c×d）+（b×c）·（a×d）+（c×a）·（b×d）=0.6.證明：

a×[b×（c×d）]=（b·d）（a×c）-（b·c）（a×d）.

*7.證明：

（1）（a×b）×（c×d）=（a,b，d）c-（a,b，c）d；

（2）（a×b）×（c×d）=（a,c，d）b-（b,c，d）a.

*8.證明：對(duì)任意四個(gè)向量a,b，c,d，有

（b,c，d）a+（c,a，d）b+（a,b，d）c+（b,a，c）d=0.

9.若x,y與x×y共面，討論x與y的關(guān)系.

10.證明：

[v1×（v1×v2）]×[v2×（v1×v2）]=v1×v22（v1×v2）.

11.證明：若v1與v2不共線，則v1×（v1×v2）與v2×（v1×v2）不共線.

12.設(shè)d1，d2，d3不共面，證明：任一向量a可以表示成

13.用向量法證明：若三元一次方程組的系數(shù)行列式不等于零，則它有唯一的一個(gè)解.

*14.設(shè)a,b，c不共面，向量x滿足

a·x=f,b·x=g,c·x=h，

證明：