§4　向量的外積

從力學(xué)中知道，作用在點(diǎn)A上的力F關(guān)于支點(diǎn)O（如圖1.20）的力矩M的大小為

力矩M的方向?yàn)椋鹤層沂炙闹笍摹狾A彎向F（轉(zhuǎn)角小于π），則拇指的指向即M的方向.本節(jié)我們來(lái)研究類(lèi)似于由→—OA和F求力矩M這樣的向量運(yùn)算.

4.1　向量的外積的定義

定義4.1　兩個(gè)向量a與b的外積（記作a×b）仍是一個(gè)向量，它的長(zhǎng)度規(guī)定為

|a×b|：=|a||b|sin〈a,b〉，（4.1）

且當(dāng)|a×b|≠0時(shí)，它的方向規(guī)定為：與a,b均垂直，并且使（a,b，a×b）成右手系，即當(dāng)右手四指從a彎向b（轉(zhuǎn)角小于π）時(shí)，拇指的指向就是a×b的方向.

如果a,b中有一個(gè)為0，則a×b=0.

由定義立即看出，a×b=0的充分必要條件是a與b共線.因此要特別注意：若a×b=0，不能斷定a,b中必有一個(gè)為0.這是與數(shù)的乘法很不一樣的地方.

4.2　向量的外積的幾何意義，平面的定向

外積的幾何意義：當(dāng)a與b不共線時(shí)，從（4.1）式看出，|a×b|表示以a,b為鄰邊的平行四邊形的面積.為了說(shuō)明a×b的方向的幾何意義，我們需要先給出所謂的平面的定向的概念.

平面的定向，就是平面上的旋轉(zhuǎn)方向.在平面幾何中，常用“逆時(shí)針?lè)较颉迸c“順時(shí)針?lè)较颉眮?lái)描述平面上的兩個(gè)旋轉(zhuǎn)方向.對(duì)于放在三維空間中的平面，這種說(shuō)法不足以描述平面上的旋轉(zhuǎn)方向：從這一側(cè)看來(lái)是逆時(shí)針的旋轉(zhuǎn)方向，從另一側(cè)看就成了順時(shí)針的.因此通常用另一種方法來(lái)描述.

給了平面π0上的一對(duì)不共線向量，如果規(guī)定了它們的先后順序，則從第一個(gè)向量到第二個(gè)向量的轉(zhuǎn)角小于π的旋轉(zhuǎn)方向就稱(chēng)為平面π0的一個(gè)定向.譬如，設(shè)a0，b0不共線，如果規(guī)定先a0后b0的順序，則從a0到b0的轉(zhuǎn)角小于π的旋轉(zhuǎn)方向是平面π0的一個(gè)定向，如圖1.21所示.但是，如果規(guī)定先b0后a0的順序，則從b0到a0的轉(zhuǎn)角小于π的旋轉(zhuǎn)方向是平面π0的另一個(gè)定向，它與前述定向相反，如圖1.22所示.

平面的兩個(gè)定向，也可以用平面的兩側(cè)來(lái)代表：如果右手四指沿平面上取定的旋轉(zhuǎn)方向彎曲，拇指必指向平面的一側(cè).這樣，平面的兩個(gè)定向就對(duì)應(yīng)于平面的兩側(cè)，而平面的兩側(cè)又可用垂直于該平面的兩個(gè)方向（或單位向量）來(lái)刻畫(huà)，因此通常也用垂直于平面的方向來(lái)表示平面的定向：設(shè)e1是與平面π0垂直的單位向量，如果右手四指從a0彎向b0（轉(zhuǎn)角小于π）時(shí)拇指的指向?yàn)閑1的方向，則e1表示的平面π0的定向就是由a0到b0的旋轉(zhuǎn)方向（轉(zhuǎn)角小于π），見(jiàn)圖1.21.設(shè)單位向量e2與e1方向相反，則e2表示的平面π0的定向就是由b0到a0的旋轉(zhuǎn)方向，見(jiàn)圖1.22.

現(xiàn)在來(lái)看外積a×b的方向的幾何意義.a×b的方向給出了以a,b為鄰邊的平行四邊形的邊界的一個(gè)環(huán)行方向，即讓右手的拇指指向a×b的方向，右手其余四指的彎向（轉(zhuǎn)角小于π）就是以a,b為鄰邊的平行四邊形的邊界環(huán)行方向.對(duì)于一個(gè)平行四邊形，如果給它的邊界指定了一個(gè)環(huán)行方向，則稱(chēng)它是定向平行四邊形.因此，a×b的方向的幾何意義就是它給以a,b為鄰邊的平行四邊形確定了一個(gè)定向.

假定我們已經(jīng)用單位向量e規(guī)定了平面π0的定向，見(jiàn)圖1.23.對(duì)于平面π0上的定向平行四邊形，可以給它的面積一個(gè)正負(fù)號(hào)：如果它的定向與π0的定向一致，則規(guī)定它的面積為正的；如果不一致，則規(guī)定它的面積為負(fù)的.這叫做定向平行四邊形的定向面積.以a,b為鄰邊并且定向?yàn)閍×b的平行四邊形的定向面積用（a,b）表示.于是，當(dāng)a×b與e同向時(shí)，（a,b）＞0；當(dāng)a×b與e反向時(shí)，（a,b）＜0.又由于|a×b|=|（a,b）|，因此

a×b=（a,b）e.（4.2）

4.3　向量的外積的運(yùn)算規(guī)律

命題4.1　若a≠0，則a×b=a×b2，其中b2是b沿方向a下的外射影.

證明　設(shè)b=b1+b2，其中b1與a共線，b2⊥a.若a與b不共線，則由直角三角形的解法知

|b2|=|b|sin〈a,b〉，

于是

|a×b|=|a||b|sin〈a,b〉=|a||b2|=|a×b2|.

由圖1.24易看出，a×b與a×b2的方向相同，

所以

a×b=a×b2.

若a與b共線，則b2=0，從而

a×b=0=a×b2.

命題4.2　設(shè)e是單位向量，b⊥e，則e×b等于b按右手螺旋

規(guī)律繞e旋轉(zhuǎn)90°得到的向量b′.

證明　因?yàn)閨e×b|=|e||b|sin〈e,b〉=|b|=|b′|，又由圖1.25看出，e×b與b′同向，所以e×b=b′.

推論4.1　若[O；e1，e2，e3]為右手直角坐標(biāo)系（如圖1.26），則有

e1×e2=e3，e2×e3=e1，e3×e1=e2.

定理4.1　外積適合下列運(yùn)算規(guī)律：對(duì)于任意向量a,b，c和任意實(shí)數(shù)λ，有

（1）a×b=-b×a（反交換律）；

（2）（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；

（3）a×（b+c）=a×b+a×c（左分配律）；

（b+c）×a=b×a+c×a（右分配律）.

證明（1）由定義4.1立即得到.

當(dāng)λ＞0時(shí)，λa與a同向，所以λa×b與λ（a×b）同向；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa×b與a×b反向，λ（a×b）與a×b反向，從而λa×b與λ（a×b）同向.因此有

λa×b=λ（a×b）.

a×（λb）=-[（λb）×a]=（-1）[λ（b×a）]

=（-λ）（b×a）=（-λ）（-a×b）

=（-λ）[（-1）（a×b）]=λ（a×b）.

（3）先證左分配律.若a=0，則結(jié)論顯然成立.下設(shè)a≠0.因?yàn)?/p>

所以只要考慮a0×（b+c）.設(shè)b=b1+b2，其中b1與a【共線，a0⊥b2；設(shè)c=c1+c2，其中c1與a0共線，a0⊥c2.于是

b+c=（b1+c1）+（b2+c2）.

根據(jù)命題3.1的證明過(guò)程，得（b1+c1）與a0共線，（b2+c2）⊥a0，于是由命題4.1得

a0×（b+c）=a0×（b2+c2）.

再由命題4.2知，a0×（b2+c2）等于（b2+c2）繞a0右旋90°得到的向量d′.同理，a0×b=a0×b2是將b2繞a0右旋90°得到的向量b′2，a0×c=a0×c2是將c2繞a0右旋90°得到的向量c′2（如圖1.27）.因?yàn)閎2，c2，b2+c2可連成一個(gè)三角形，所以由它們繞a0右旋90°得到的向量b′2，c′2，d′2也一定可以連成一個(gè)三角形.于是d′=b′2+c′2，即

a0×（b2+c2）=a0×b2+a0×c2，

從而得

再證右分配律：

（b+c）×a=-a×（b+c）=-（a×b+a×c）

=（-1）（a×b+a×c）

=（-1）（a×b）+（-1）（a×c）

=-a×b+（-a×c）

=b×a+c×a.

4.4　用坐標(biāo)計(jì)算向量的外積

先取一個(gè)仿射標(biāo)架[O；d1，d2，d3]，設(shè)向量a,b的坐標(biāo)分別是（a1，a2，a3）T，（b1，b2，b3）T，則

由此可見(jiàn)，只要知道基向量之間的外積，就可求出a×b.

現(xiàn)在設(shè)[O；e1，e2，e3]是右手直角標(biāo)架，根據(jù)推論4.1，由（4.3）式得到

于是我們有

定理4.2　設(shè)a,b在右手直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為

（a1，a2，a3）T，（b1，b2，b3）T，

則a×b的坐標(biāo)為

從而

由外積的幾何意義知，（4.6）式也是以a,b為鄰邊的平行四邊形的面積公式.

注（4.4）式，（4.5）式和（4.6）式只在右手直角坐標(biāo)系中才成立.作為一種記憶方式，（4.4）式可以形式地寫(xiě)成

4.5　二重外積

向量的外積是否滿足結(jié)合律？首先讓我們來(lái)探索a×（b×c）等于什么？設(shè)b,c不共線，從外積的定義知，b×c垂直于由b,c確定的一個(gè)平面π.又由于a×（b×c）與b×c垂直，因此a×（b×c）在平面π內(nèi)，從而a×（b×c）=k1b+k2c，其中k1，k2待定.

命題4.3　對(duì)任意向量a,b，c，有

a×（b×c）=（a·c）b-（a·b）c.（4.8）

（4.8）式稱(chēng)為二重外積公式.

證明　取一個(gè)右手直角坐標(biāo)系，設(shè)

a（a1，a2，a3）T，b（b1，b2，b3）T，c（c1，c2，c3）T.

設(shè)b×c的坐標(biāo)為（d1，d2，d3）T,a×（b×c）的坐標(biāo)為（h1，h2，h3）T，由（4.5）式得

同理可得

h2=（a·c）b2-（a·b）c2，h3=（a·c）b3-（a·b）c3.

所以

a×（b×c）=（a·c）b-（a·b）c.

由公式（4.8）和外積的反交換律可得到

（a×b）×c=-c×（a×b）=-（c·b）a+（c·a）b，

從而在一般情況下，a×（b×c）≠（a×b）×c，即向量的外積不適合結(jié)合律.

請(qǐng)讀者證明下述的雅可比（Jacobi）等式：

a×（b×c）+b×（c×a）+c×（a×b）=0.（4.9）

習(xí)題　1.4

1.證明：|a×b|2=|a|2|b|2-（a·b）2.

2.證明：若a×b=c×d,a×c=b×d，則a-d與b-c共線.

3.在右手直角坐標(biāo)系中，設(shè)a,b的坐標(biāo)分別是

（5，-2，1）T，（4，0，6）T，

求a×b和以a,b為鄰邊的平行四邊形的面積.

4.在右手直角坐標(biāo)系中，設(shè)a,b，c的坐標(biāo)分別是

（1，0，-1）T，（1，-2，0）T，（-1，2，1）T，

求（3a+b-c）×（a-b+c）.

5.證明（a-b）×（a+b）=2（a×b），并且說(shuō)明它的幾何意義.

6.證明：若a+b+c=0，則a×b=b×c=c×a.并且說(shuō)明其幾何意義.

7.證明：三角形的重心與三個(gè)頂點(diǎn)的連線分原三角形成三個(gè)等積的三角形.

8.在平面右手直角坐標(biāo)系[O；e1，e2]中，設(shè)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A,B，C的坐標(biāo)分別為

（x1，y1）T，（x2，y2）T，（x3，y3）T，

證明△ABC的面積為

并且說(shuō)明正負(fù)號(hào)的幾何意義.

9.下述推斷是否正確？

若c×a=c×b，并且c≠0，則a=b.

10.設(shè)x與x×y共線，試討論x與y的關(guān)系.

11.就下列各種情形，討論x與y的關(guān)系，其中a≠0，且a,x，

y都是以定點(diǎn)O為起點(diǎn)的定位向量：

（1）a·x=a·y；

（2）a×x=a×y；

（3）a·x=a·y，且a×x=a×y.

12.設(shè)a≠0，→—OP=x，求滿足方程a×x=b的點(diǎn)P的軌跡，其中所有向量都是以定點(diǎn)O為起點(diǎn)的定位向量.*

13.設(shè)a,b，c都不是0，x·a=h≠0，x×b=c，求x（討論各種情況），其中所有向量都是以定點(diǎn)O為起點(diǎn)的定位向量.*

14.（1）已知|e|=1，e⊥r，將r繞e右旋角度θ得r1，試用e,r，θ表示r1；

（2）給定三點(diǎn)O,A，P,O≠A，將P繞右旋角度θ得到P1，試用表