§3　向量的內積

有關長度、角度、垂直等的度量問題如何利用向量來解決？從力學中知道，若力F使質點A位移S，則F做的功W為

其中F1是F沿S方向的分力，α是F與S的夾角（如圖1.17）.在求功W的式子里出現了向量的長度、兩向量的夾角.從這一物理背景受到啟發，為了解決有關長度、角度的問題，需要考慮類似于功W那樣的數量，它是由向量F和S確定的.由于求功W的第一步是求分力F1，所以先來考慮類似于分力F1那樣的向量.

3.1　射影和分量

幾何空間V中，給了一個單位向量e，過點O作直線l，其方向向量為e；過點O作一個平面π與l垂直，在平面π上取兩個互相垂直的單位向量e1，e2，如圖1.18所示，則[O；e1，e2，e]是幾何空間V的一個直角坐標系.于是，任給向量a，它可以唯一地分解成

a=xe1+ye2+ze=a2+a1，（3.1）

其中a2=xe1+ye2，a1=ze.

可見a2⊥e,a1與e共線.我們把a1稱為a在方向e上的內射影（也稱a1是a在方向向量為e的軸l上的正投影），記作Pe（a）；把a2稱為a沿方向e下的外射影.

命題3.1　對于幾何空間中任意向量a,b，任意實數λ，有

證明　設a=a1+a2，其中a1與e共線，a2⊥e，又設b=b1+b2，其中b1與e共線，b2⊥e，則

a+b=（a1+a2）+（b1+b2）=（a1+b1）+（a2+b2）.

由于a1，b1都與e共線，因此（a1+b1）與e共線.因為a2⊥e,b2⊥e，所以a2都在過點O與直線l（其方向向量為e）垂直的平面π內，從而a2，b2+b2也在平面π內.于是（a2+b2）⊥e.因此a1+b1是a+b在方向e上的內射影，從而

Pe（a+b）=a1+b1=Pe（a）+Pe（b）.

由于λa=λa1+λa2，且λa1與e共線，（λa2）⊥e，因此

Pe（λa）=λa1=λPe（a）.

由于a在方向e上的內射影a1與e共線，因此存在唯一的實數μ，使得a1=μe.把這個實數μ稱為a在方向e上的分量，記作　Ⅲe（a）.

命題3.2　幾何空間中任一向量a在方向e上的分量為

其中〈a,e〉表示向量a與e之間的夾角.

證明　用μ表示　Ⅲe（a），則a1=μe.于是|a1|=|μ|.

情形1　a1與e同向，如圖1.18所示，則μ＞0，且0≤〈a,e〉＜π/2，從而

情形2　a1與e反向，則μ＜0.此時π/2＜〈a,e〉≤π，從而

因此

μ=|a|cos〈a,e〉.

情形3　a1=0.此時μ=0，且a⊥e，于是仍有

μ=|a|cos〈a,e〉.

從內射影和分量的定義立即得到

命題3.3　對幾何空間中任一向量a，有

Pe（a）=Ⅲe（a）e.

從命題3.1，命題3.2和命題3.3可得出

命題3.4　對于幾何空間中任意向量a,b，有

證明　由于

Pe（a+b）=Pe（a）+Pe（b），Pe（a+b）=Ⅲe（a+b）e，

因此

Ⅲe（a+b）e=Ⅲe（a）e+Ⅲe（b）e=（Ⅲe（a）+Ⅲe（b））e，

從而

Ⅲe（a+b）=Ⅲe（a）+Ⅲe（b）.

由于Pe（λa）=λPe（a），Pe（λa）=Ⅲe（λa）e，因此

Ⅲe（λa）e=λ　Ⅲe（a）e，

從而

Ⅲe（λa）=λ　Ⅲe（a）.

3.2　向量的內積的定義和性質

類似于功那樣的數量，我們引進向量的內積的概念.

定義3.1　兩個向量a與b的內積（記作a·b）規定為一個實數：

若a與b中有一個為0，則a·b：=0.

若b≠0，則由（3.4）式和（3.7）式得

（3.8）式表明了向量的內積與分量的關系.

由（3.7）式可得

（3.9）式和（3.10）式表明，可以利用向量的內積來解決有關長度和角度的問題.

由定義3.1可得到：a⊥b的充分必要條件是a·b=0.

定理3.1　對于任意向量a,b，c，任意實數λ，有

（1）a·b=b·a（對稱性）；

（2）（λa）·b=λ（a·b）（線性性之一）；

（3）（a+c）·b=a·b+c·b（線性性之二）；

（4）a·a≥0，等號成立當且僅當a=0（正定性）.

證明　由定義3.1立即得到

a·b=b·a.

由（3.8）式，（3.6）式和（3.5）式得

由定義3.1立即得到：若a≠0，則a·a=|a|2＞0；若a=0，則a·a=0.

由內積的對稱性和線性性還可得到

a·（λb）=λ（a·b），

a·（b+c）=a·b+a·c.

例3.1　證明：三角形的三條高線交于一點.

證明　設△ABC的兩條高線BE,CF交于點M，連接AM（如圖1.1 9）.因為B E⊥A C，所以即

亦即

因為CF⊥AB，所以從而

于是有即這表明AM⊥BC.延長AM與BC交于D，則AD為BC邊上的高.所以△ABC的三條高線交于一點M.

3.3　用坐標計算向量的內積

首先取一個仿射標架[O；d1，d2，d3]，設a,b的坐標分別是（a1，a2，a3）T，（b1，b2，b3）T，則

可見，只要知道基向量d1，d2，d3之間的內積（9個數，實質上只有6個數）就可以求出任意兩個向量的內積.這9個數稱為仿射標架[O；d1，d2，d3]的度量參數.

現在設[O；e1，e2，e3]是直角標架，則有

于是由（3.11）式得到

a·b=a1b1+a2b2+a3b3.（3.12）

因此有

定理3.2　在直角坐標系中，兩個向量的內積等于它們的對應坐標的乘積之和.

由定理3.2即知，向量a（a1，a2，a3）T的長度為

兩點A（x1，y1，z1）T，B（x2，y2，z2）T之間的距離為

注意（3.12），（3.13），（3.14）三個式子只在直角坐標系中才成立.

3.4　方向角和方向余弦

在直角坐標系中，還可以用向量a與基向量的內積來計算a的坐標.設a在直角標架[O；e1，e2，e3]中的坐標為（a1，a2，a3）T，則有

a=a1e1+a2e2+a3e3.

上式兩邊用e1作內積，得

a·e1=a1.

同理可得

a·e2=a2，a·e3=a3.

這說明向量a與基向量ej的內積就是a的第j（j=1，2，3）個直角坐標.

特別地，單位向量a0的直角坐標為

我們把一個向量a與直角標架中的基向量e1，e2，e3所成的角α，β，γ稱為方向a^[1]的方向角，把方向角的余弦cosα，cosβ，cosγ稱為方向a的方向余弦.由上述知，a的方向余弦就等于單位向量a0的直角坐標，從而有

cos2α+cos2β+cos2γ=1.（3.15）

習題　1.3

1.已知|a|=3，|b|=2，〈a,b〉=π/6，求3a+2b與2a-5b的內積.

2.設OABC是一個四面體，∠AOB=∠AOC=π/3，∠BOC=π/6，P是AB的中點，M是△ABC的重心求

3.證明下列各對向量互相垂直：

（1）直角坐標分別為（3，2，1）T和（2，-3，0）T的兩個向量；

（2）a（b·c）-b（a·c）與c.

4.證明：

5.證明：對任意向量a,b，都有

當a與b不共線時，說明此等式的幾何意義.

6.下列等式是否正確？

（1）|a|a=a·a；

（2）a（a·b）=（a·a）b；

（3）（a·b）2=（a·a）（b·b）；（4）（a·b）c=a（b·c）.

7.在直角坐標系中，已知a,b，c的坐標分別為（3，5，7）T，（0，4，3）T和（-1，2，-4）T，設

u=3a+4b-c,v=2b+c，

求u·v，|u|，|v|和〈u,v〉.

8.已知△ABC的頂點A,B，C的直角坐標分別為（2，5，0）T，（11，3，8）T，（5，11，12）T，求各邊和各中線的長度.

9.已知△ABC的頂點A,B，C的直角坐標分別為（2，4，3）T，（4，1，9）T，（10，-1，6）T，證明：△ABC是直角三角形.

10.證明：三角形三條中線的長度的平方和等于三邊長度的平方和的3/4.

11.證明：三角形三邊的垂直平分線交于一點.

12.證明：如果一個四面體有兩對對棱互相垂直，則第三對對棱也必垂直，并且三對對棱的長度的平方和相等.

13.設向量a的直角坐標為（1，2，-2）T，求方向a的方向角和方向余弦.

14.判斷下述推斷是否正確：若a·c=b·c，且c≠0，則

a=b.

15.證明：設三個向量a,b，c不共面，如果向量x滿足

x·a=0，x·b=0，x·c=0，

則x=0.

*16.證明：三向量a,b，c共面的充分必要條件是