§2　幾何空間的線性結構

幾何空間V是空間中所有的點組成的集合.取一個點O，以O為起點的向量稱為定位向量.所有定位向量組成的集合與V有一個一一對應對應于終點M.于是V也可以看成由所有定位向量組成的集合.由于向經過平行移動得到的向量相等，因此V也可以看成由所有向量組成的集合，其中經過平行移動得到的向量是相等的向量.V中的向量有加法和數量乘法運算，這使得幾何空間V有一個很好的結構.

2.1　向量和點的仿射坐標、直角坐標

定理2.1　幾何空間V中任意給定三個不共面的向量d1，d2，d3，則任意一個向量m可以唯一表示成d1，d2，d3的線性組合.

證明　可表性　取一點O，作分別表示d1，d2，d3，m.

過M作一直線與OA3平行，且與OA1和OA2決定的平面交于N.過N作一直線與OA2平行，并且與OA1交于P（如圖1.11）.因為與d1共線，與d2共線，與d3

共線，所以分別存在實數x,y，z，使得

從而

唯一性　若

則得

（x-x1）d1+（y-y1）d2+（z-z1）d3=0.

因為d1，d2，d3不共面，所以

x-x1=y-y1=z-z1=0，

即

x=x1，y=y1，z=z1.

定理2.1給出了幾何空間V的線性結構，即只要給出了V中三個不共面的向量，那么V中所有向量就了如指掌了.

定義2.1　幾何空間V中任意三個有次序的不共面向量d1，d2，d3稱為V的一個基.對于幾何空間中任一向量m，若

m=xd1+yd2+zd3，

則把三元有序實數組（x,y，z）稱為m在基d1，d2，d3下的坐標，記作

向量有了坐標后，我們再對空間中的點也引進坐標.

定義2.2　幾何空間中一個點O和一個基d1，d2，d3合在一起稱為幾何空間的一個仿射標架或仿射坐標系，記作[O；d1，d2，d3]，其

中O稱為原點.對于幾何空間中任意一點M，把它的定位向在

基d1，d2，d3下的坐標稱為點M在仿射標架[O；d1，d2，d2]中的坐標.

由定義2.2知，點M在[O；d1，d2，d3]中的坐標為（x,y，z）T的充分必要條件是

以后我們把向量m在基d1，d2，d3下的坐標也稱為m在仿射標架[O；d1，d2，d3]中的坐標.

幾何空間中取定了一個仿射標架后，由定理2.1知，幾何空間中全體向量的集合與全體有序三元實數組的集合之間就建立了一一對應；通過定位向量，幾何空間中全體點的集合與全體有序三元實數組的集合之間也建立了一一對應.

設[O；d1，d2，d3]為幾何空間的一個仿射標架，過原點O，且分別以d1，d2，d3為方向的有向直線分別稱為x軸，y軸，z軸，統稱為坐標軸.由每兩根坐標軸決定的平面稱為坐標平面，它們分別為Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面.坐標平面把空間分成八個部分，稱為八個卦限（如圖1.12）.在每個卦限內，點的坐標的符號是不變的（如表1-1）.

表　1-1

將右手四指（拇指除外）從x軸方向彎向y軸方向（轉角小于π），如果拇指所指的方向與z軸方向在Oxy平面同側，則稱此坐標系為右手坐標系，簡稱右手系；否則，稱為左手坐標系，簡稱左手系（如圖1.13）.

定義2.3　如果e1，e2，e3兩兩垂直，并且它們都是單位向量，則[O；e1，e2，e3]稱為一個直角標架或直角坐標系.

若e1，e2，e3兩兩垂直，則它們一定不共面，因此直角標架是特殊的仿射標架.

點（或向量）在直角坐標系中的坐標稱為它的直角坐標，在仿射坐標系中的坐標稱為它的仿射坐標.

類似地，可討論平面上的仿射坐標系和直角坐標系.

運用幾何空間的線性結構，可以解決三點共線、線段的定比分點和三線共點等問題.

2.2　用坐標做向量的線性運算

取定仿射標架[O；d1，d2，d3]，設a的坐標是（a1，a2，a3）T，b的坐標是（b1，b2，b3）T，則

所以a+b的坐標是（a1+b1，a2+b2，a3+b3）T.這說明，向量和的坐標等于對應坐標的和.

對于任意實數λ，有

所以λa的坐標是（λa1，λa2，λa3）T.這說明，a乘以實數λ，則它的坐標就都乘上同一個實數λ.

由上述得：a-b的坐標是（a1-b1，a2-b2，a3-b3）T.

定理2.2　向量的坐標等于其終點坐標減去其起點坐標.

證明　對于向設A,B的坐標分別是（x1，y1，z1）T，

（x2，y2，z2）T，它們也分別是的坐標.因為所以的坐標是（x2-x1，y2-y1，z2-z1）T.

點M的坐標是它的定位向的坐標；向量的坐標等于其終點坐標減去其起點坐標.這兩句話表明了點的坐標與向量的坐標之間的關系.

2.3　三點（或兩向量）共線的條件

命題2.1　設平面上兩個向量a,b的坐標分別為（a1，a2）T，（b1，b2）T，則a與b共線的充分必要條件是

證明　必要性　設a與b共線.若a≠0，則存在實數λ，使得b=λa，從而b1=λa1，b2=λa2.于是

若a=0，則

充分性　設.若a≠0，則不妨設a1≠0.于是有又因此從而b與a共線.

若a=0，則b與a共線.

命題2.2　在三個點A,B，C所在的平面上取一個仿射標架[O；d1，d2]，設A,B，C的坐標分別是

（x1，y1）T，（x2，y2）T，（x3，y3）T，

則三點A,B，C共線的充分必要條件是

證明　利用命題2.1得

三點A,B，C共線

其中最后一個等號由3階行列式的第3列分別加到第1列和第2列上，行列式的值不變而得到.

命題2.3　設兩向量a,b在空間仿射標架[O；d1，d2，d3]中的坐標分別是（a1，a2，a3）T，（b1，b2，b3）T，則a與b共線的充分必要條件是

證明　必要性　設a與b共線.假如a=0，則（2.1）式顯然成立.下面設a≠0，于是有實數k，使得b=ka.所以

bi=kai，i=1，2，3，

從而

同理，（2.1）式中的其余兩個行列式也為零.

充分性　設（2.1）式成立.如果a,b中有一個為0，則結論顯然成立.下面設a≠0，b≠0.不妨設a1≠0（a2≠0的情況可類似討論）.令q則b1=ka1，從而

于是b2=ka2.因為

所以b3=ka3.于是有

（b1，b2，b3）=（ka1，ka2，ka3），

從而得b=ka.因此a與b共線.

2.4　線段的定比分點

對于線段AB（A≠B），如果點C滿則稱點分線段AB成定比λ.當λ＞0時，同向，點C是線段AB內部的點，稱C為內分點；當λ＜0時，反向，C是線段AB外部的點，稱C為外分點；當λ=0時，點C與點A重合.假如λ=-1，則得即矛盾.所以λ≠-1.

命題2.4　設A,B的坐標分別是（x1，y1，z1）T，（x2，y2，z2）T，則分線段AB成定比λ（λ≠-1）的分點C的坐標是

證明　設點C的坐標是（x,y，z）T.用坐標寫出就是

解得

推論2.1　設A,B的坐標分別為（x1，y1，z1）T，（x2，y2，z2）T，則線段AB的中點的坐標為

例2.1　用坐標法證明：四面體對棱中點的連線交于一點.

證明　設四面體ABCD的棱AB,AC,AD,BC,CD,DB的中點分別是B′，C′，D′，E,F，G（如圖1.14）.

取仿射標架則各點坐標分別為A（0，0，0）T，B（1，0，0）T，C（0，1，0）T，D（0，0，1）T，B′（1/2，0，0）T

設B′F與D′E交于點M（x,y，z）T，并設

則M的坐標為

解得l=1，k=1，從而M的坐標為的坐標分別由于

因此根據命題2.3得共線，于是點M在C′G上，從而B′F,D′E,C′G交于一點M.

注　此題在寫出各點坐標后，也可以先求出各連線的中點坐標：B′F的中點坐標為，D′E的中點坐標為TT

，C′G的中點坐標為這說明點是B′F，

D′E,C′G的公共點，從而得證.

在用坐標法解決問題時，一定要注意針對問題的特點選取合適的坐標系.

命題2.2可以用來解決平面上三點共線的判定問題.

例2.2（門內勞斯（Menelaus）定理）設點P,Q，R分別分△ABC的邊AB,BC,CA成定比λ，μ，ν，如圖1.15所示，證明：

三點P,Q，R共線?λμν=-1.

證明　取平面仿射標，點A,B，C的坐標分別為（0，0）T，（1，0）T，（0，1）T.

根據命題2.4，點P,Q，R的坐標分別為

根據命題2.2，有

三點P,Q，R共線

?λμν=-1.

三線共點的問題可以轉化為三點共線的問題.

例2.3（切瓦（Ceva）定理）設點P,Q，R分別內分△ABC的邊AB,BC,CA成定比λ，μ，ν，如圖1.16所示，證明：

三線AQ,BR,CP共點?λμν=1.

證明　取平面仿射標，點A,B，C的坐標分別（0，0）T，（1，0）T，（0，1）T；點P,Q，R的坐標分別為

設AQ與BR相交于點M（x,y）T，且點M分別分線段AQ,BR成定比k,l，則

將上述兩個式子相除（即考慮x/y），得

于是l=μ（1+ν）.因此

由于μ＞0，ν＞0，因此1+μ（1+ν）≠0，從而

三線AQ,BR,CP共點

?三點C,M，P共線

?λμν=1.

利用三線共點的判定定理（切瓦定理）可以簡捷地證明三角形三條中線相交于一點.證明留給讀者，作為本節習題的第11題.

習題　1.2

1.在一個仿射坐標系中畫出下列各點：

P（1，3，4）T，Q（-1，1，3）T，M（-1，-2，-3）T.

2.給定直角坐標系，設點M的坐標為（x,y，z）T，求它分別對于Oxy平面，x軸和原點的對稱點的坐標.

3.設平行四邊形ABCD的對角線交于點M，且有

取仿射標，求點M,P，Q的坐標以及向的坐標.

4.對于平行四邊形ABCD，求A,D，在仿射標架中的坐標.

5.設ABCDEF為正六邊形，求各頂點以及向在仿標架中坐標.

6.已是以原點O為頂點的平行六面體的三條棱，求此平行六面體過點O的對角線與平面ABC的交點M在仿射標架[O；d1，d2，d3]中的坐標.

7.設向量a,b，c的坐標分別是（1，5，2）T，（0，-3，4）T，（-2，3，-1）T，求下列向量的坐標：

（1）2a-b+c；（2）-3a+2b+4c.

8.已知平行四邊形ABCD中頂點A,B，C的坐標分別為（1，0，2）T，（0，3，-1）T，（2，-1，3）T，求點D和對角線交點M的坐標.

9.下列各組的三個向量a,b，c是否共面？能否將c表示成a,b的線性組合？若能表示，則寫出表示式.

（1）a（5，2，1）T，b（-1，4，2）T，c（-1，-1，5）T；

（2）a（6，4，2）T，b（-9，6，3）T，c（-3，6，3）T；

（3）a（1，2，-3）T，b（-2，-4，6）T，c（1，0，5）T.

10.設點C分線段AB成5：2，點A的坐標為（3，7，4）T，點C的坐標為（8，2，3）T，求點B的坐標.

11.用切瓦定理證明：△ABC的三條中線交于一點.若點A,B，C的坐標分別為（x1，y1，z1）T，（x2，y2，z2）T，（x3，y3，z3）T，求△ABC的重心的坐標.

12.證明：三角形的三條角平分線相交于一點.