第二版說明

《初等數(shù)論》出版已經10年了。根據(jù)教學實踐，經考慮再版仍保持原書的定位、體系與風格，對第一版內容除在文字敘述、解釋上略作改進潤色，改正了若干疏誤外，還稍作調整與補充。它們主要是：

（一）在第一章，把原來4中最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的定義及和帶余數(shù)除法無關的性質（即4的第一部分）移至2；把原5“輾轉相除法”全部合并到3；原6，7與8分別改為5，6與7；增加了8“容斥原理與π（x）的計算公式”。當然，習題也作了相應調整。

此外，為了加深對整數(shù)、整除及整除理論的概念、方法的理解與掌握，相應地在附錄二中增加了（i）有關一元有理系數(shù)多項式集合Q［x］與一元整系數(shù)多項式集合Z［x］的整除理論的習題（第9～19題）；（ii）有關代數(shù)數(shù)、代數(shù)整數(shù)的概念與性質以及Gauss整數(shù)Z［］的整除理論的習題（第20～30題）。這些對需要進一步學習數(shù)論知識的讀者是有幫助的。

（二）在第二章2中，稍為仔細地討論了單位圓周上的有理點。

（三）第三章，在2中引進了整數(shù)與整數(shù)集合的“和”及“積”的概念和符號，以及用此來證明同余類與剩余系的性質；在3的最后極簡單地描述了所謂“公開密鑰密碼系統(tǒng)”。

（四）在第四章，增加了9“多元同余方程、Chevalley定理”。

（五）第五章習題一增加了第33題，第九章習題二增加了第29，30題，它們分別給出了命題：“首項為1的算術數(shù)列中有無窮多個素數(shù)”的兩個不同證明。

（六）第九章2中Mobius反轉公式的講述和證明作了改變。雖然這較簡潔，但原來的有其優(yōu)點。

（七）在附錄四，補充了本書第一版以后各屆國際數(shù)學奧林匹克競賽中與數(shù)論有關的題。至今共43屆，82道題。

（八）改進了一些習題的提示與解答，附錄中增加的題都沒有給出提示。現(xiàn)正文中共有797道題，附錄中共有131道題。

（九）增加了名詞索引。

保持本書的原樣并作以上改動的依據(jù)是考慮了：10年來采用本書作為教材的教師們所提出的寶貴意見；學生們在學習中提出的問題、進行的討論和給出的漂亮的習題解答；本書責任編輯劉勇副編審的寶貴意見；10年來，我們對自己為不同的對象（包括中學生、中學教師、大學生以及研究生），按本書內容的不同組合，以不同的方式來進行教學所作的不斷總結，仔細尋找教材的不足并加以改進。在這里我謹向以上所有的同志表示衷心感謝！

好像沒有一門學科像“初等數(shù)論”那樣，它最基本的內容可以同時作為中小學師生、大學生以及研究生的一門課程，當然在內容的深淺難易上各有不同。這是一門有其自身特點、不可缺少的基礎課。我們深深感到應該也期望有適合不同對象的初等數(shù)論教材出現(xiàn)，而這正是我國目前所缺少的。當然，教材必需遵循初等數(shù)論的基本理論體系，既不能“把它看做一些互不相關的有趣的智力競賽題”的匯集，也不能認為它“只是一些簡單的例子，僅把它作為學習代數(shù)的預備知識”（見第一版序）。因為，數(shù)學是人類文化最重要的組成部分之一，它是日益顯示其重要性的一種科學的語言，一種科學的思維方式和強有力的科學工具，而初等數(shù)論的思想、概念、方法和理論則是數(shù)學思維鏈中不可或缺的重要一環(huán)。盡管近代數(shù)論可以包容它，但不能代替它。而且，事實證明：不學好初等數(shù)論大概是什么數(shù)論也學不好的。

正如第一版序中所說，承洞和我“深知要寫好一本初等數(shù)論的教材絕非易事”，現(xiàn)在再版修訂只能由我一人來承擔，錯漏不當之處更為難免，切望讀者多多指正。

潘承彪2002年中秋