第三版說明

自本書第二版出版以來，又是一個(gè)十年過去了，這是我較輕松的十年，一些早就不該過問的事我不再參與了。

十年間與本書有關(guān)的事是：在我大學(xué)畢業(yè)后就工作至退休的北京農(nóng)業(yè)機(jī)械化學(xué)院（即現(xiàn)在的中國農(nóng)業(yè)大學(xué)）的應(yīng)用數(shù)學(xué)系，很高興地為四屆學(xué)生講了初等數(shù)論課；繼續(xù)為參加國內(nèi)外中學(xué)高年級數(shù)學(xué)競賽的學(xué)生進(jìn)行輔導(dǎo)，這種輔導(dǎo)是對初等數(shù)論與競賽有關(guān)的內(nèi)容，結(jié)合問題作較系統(tǒng)嚴(yán)格的理論、方法與技巧上的講述；我注意到了不少讀者在網(wǎng)上對本書的關(guān)心，他們提出了許多十分有益的意見、建議和批評，對此我深表感謝。

自寫本書以來，我們一直在思考的一個(gè)問題是，在原有的框架和內(nèi)容下，如何使本書讓教初等數(shù)論的老師更好用，學(xué)初等數(shù)論的讀者更易學(xué)，特別是自學(xué)。雖在第二版中有所改進(jìn)，但我自己總覺得本書在這方面還有不少不足之處。所以，這十年間在做以上工作時(shí)就特別注意考慮這一問題。

大約兩年前，本書責(zé)任編輯劉勇同志建議再版本書時(shí)，我談了修改的想法，得到了他的贊同和支持。

在本版中，除了附錄四之外，本書內(nèi)容整體上沒有增加或減少。在附錄四中補(bǔ)充了這十年國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽中與數(shù)論有關(guān)的試題24道題（至今共有104道題），以及增加了典型試題（共40道題）的解法舉例一節(jié)。在這一節(jié)中由淺入深地按照所用的初等數(shù)論的思想、概念、結(jié)論、方法和技巧，對這些題分類給出我自己的解法，盡可能講清楚我是如何分析問題，探索、確定該題是否與初等數(shù)論有關(guān)及與哪一部分有關(guān)，以及解題所需要用到的初等數(shù)論方法和知識(shí)。這是我近三十年間參與中學(xué)高年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)的經(jīng)驗(yàn)心得。我認(rèn)為做競賽題能激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，但不能為競賽而競賽，為解題而解題，它必須與系統(tǒng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合，逐步了解數(shù)學(xué)，喜愛數(shù)學(xué)。

本版所作的主要改變是對本書的結(jié)構(gòu)、編排和一些內(nèi)容的講述作了改進(jìn)：把討論同一問題的內(nèi)容加以合并；對原來的“節(jié)”盡可能劃分成若干“小節(jié)”，以突出每節(jié)內(nèi)容中的重點(diǎn)，使得各個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容及它們之間的聯(lián)系更加清晰；盡可能地對主要的基本思想、理論、方法、定理的重要意義和內(nèi)涵及它們之間的關(guān)系加以清楚闡述。我想這些改進(jìn)，對教與學(xué)都應(yīng)該是有幫助的。具體的改變有以下幾個(gè)方面：

（1）把原來第一章的8“容斥原理與π（x）的計(jì)算公式”和第八章的1“Eratosthenes篩法”合并為第八章的1“Eratosthenes篩法與π（N）”（第一版就是這樣按排的），并分為四小節(jié)，因?yàn)樵瓉淼膬晒?jié)討論的是同一個(gè)問題。

（2）第一章的4“最大公約數(shù)理論”，它是講述建立最大公約數(shù)理論的三個(gè)途徑，原來放在一起討論顯得有點(diǎn)雜亂。現(xiàn)在先把最大公約數(shù)理論的八個(gè)定理一起放在4的一開始，然后分成三小節(jié)講證明的三個(gè)途徑，并說明它們之間的聯(lián)系與區(qū)別。

（3）把第一章原來的5和6合并為5并分成兩小節(jié)，因?yàn)樵瓉淼膬晒?jié)討論的是同一個(gè)問題“算術(shù)基本定理”。新的6是“整除理論小結(jié)”，這沒有增加新內(nèi)容，而是把原來闡述整除理論的重要性和關(guān)系的內(nèi)容放在一起，說得更清楚一些。

（4）在第四章3的3.2小節(jié)“孫子定理與同余類、剩余系的關(guān)系”中，穾出講述了這一重要關(guān)系。

（5）把習(xí)題都放在每節(jié)之后，并按需要把有的節(jié)的習(xí)題相應(yīng)地按小節(jié)分為若干部分。

本書的定義、定理（包括引理、推論）和公式均仍按每節(jié)編號。

本書的內(nèi)容當(dāng)然遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了一學(xué)期的授課學(xué)時(shí)，我建議一學(xué)期的授課可以學(xué)習(xí)以下初等數(shù)論的基本內(nèi)容：第一章（5.2小節(jié)可不講，同時(shí)接下來可以選學(xué)第七章的1和2，第八章的1.1～1.3小節(jié)），第二章，第三章，第四章的1～6，第五章的1和2，第六章的1和2.1小節(jié)，第九章的1和2。以上這些內(nèi)容有的可以讓學(xué)生自學(xué)（例如第一章的6，第四章的3.2小節(jié)）。本書其他內(nèi)容可供有興趣的學(xué)生自己選學(xué)，這對進(jìn)一步了解這一學(xué)科是有益的。在第一、二版中，一些較難的內(nèi)容加了“*”號，在本版中“*”號均取消了，由讀者自行確定。

我對劉勇及曾琬婷同志對本版內(nèi)容的編排、表述所作的許多精心修改，以及提出的不少有益建議，特別是劉勇同志長期以來對本書出版的支持和關(guān)心，表示衷心感謝！我也希望讀者對本版多多提出意見、建議和批評，讓我們共同努力使本書更好地適合教與學(xué)。

潘承彪

2012年9月13日