6　整除理論小結

在4和5我們建立了整數(shù)集合Z中的整除理論，它包含最大公約數(shù)理論和算術基本定理，它的重要的常用結論，是4的定理1～定理8及5的定理1～定理2.

首先要指出的是，在這些結論中，除了4的定理8涉及加法運算以外，其他的所有定理，從概念的定義、條件到結論都只涉及乘法運算和除法運算（不是指它們的證明）.因此，我們把這后一部分稱為是整除理論的積性性質(zhì)，而前一部分則稱為是整除理論的加性性質(zhì).從4.2和4.3小節(jié)，即證明最大公約數(shù)理論的第二個和第三個途徑，可以看出，從加性性質(zhì)——4定理8——可推出最大公約數(shù)理論的全部積性性質(zhì).進而由5.1小節(jié)知，就可推出5的定理1和定理2，這就建立了整個整除理論.但是，反過來不能從積性性質(zhì)推出加性性質(zhì).

其次，我們在5.2小節(jié)分別給出了5定理1和定理2的直接證明，在證明中沒有利用4中的任一結論，而用到了1和2中關于整數(shù)的基本性質(zhì)、最小自然數(shù)原理和3定理1——帶余數(shù)除法.相反的，可以用5推論3和推論4來證明2的定理10～定理12，及4的定理1～定理7，而且論證更為直觀簡單，這些請讀者自己討論.事實上，可以從算術基本定理出發(fā)，用5的式（4）和式（5）來定義最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)（那里只討論了兩個數(shù)的情形，多個數(shù)也一樣），進而建立最大公約數(shù)理論的積性性質(zhì)（見習題第1題（v））.在討論數(shù)論中的積性問題時，利用算術基本定理在理論上是十分方便有效的.但是，如何具體實現(xiàn)合數(shù)的這種分解，特別是大數(shù)的分解，至今在理論上還沒有有效方法.

最后，在4和5中，我們建立了整數(shù)集合Z中的整除理論，特別是討論了如何從各種不同的途徑來建立這一理論，這是尤為重要的.因為這主要不是為了用不同的技巧給出不同的證明，而是由于這些思想、概念、方法、理論體系的結構是整個數(shù)學中最寶貴的、最有用的部分之一，是研究許多數(shù)學對象的思想方法，對數(shù)學的發(fā)展起著重要作用.在附錄二中，我們用這樣的思想討論了集合Z［］中的算術，它和Z中的算術本質(zhì)上是不同的.在Z［］中，4和5中的結論沒有一個成立.在附錄二中也安排了兩組習題（第9～19題，第20～30題），用這樣的思想方法來研究：（i）集合Q［x］（全體有理系數(shù)的一元多項式集合）及集合Z［x］（全體整系數(shù)的一元多項式集合）中的算術，建立了和Z中本質(zhì)上相同的整除理論.這種多項式理論是數(shù)學中的重要基礎知識；（ii）Gauss整數(shù)集合Z［］，建立了和Z中本質(zhì)上相同的整除理論，并簡單討論了代數(shù)數(shù)和代數(shù)整數(shù).這些是代數(shù)數(shù)論的起源之一.所有這些都是所謂“整環(huán)”中的算術的一部分.有關這方面的內(nèi)容可參看［15］，［17］.

有不少人，特別是中學生，在學過整除理論后，往往會覺得除了4定理8以外，其他的結論都是“不證自明”的，認為這樣的證明是不需要的，重要的只是如何運用這些結論的“技巧”，這種看法是錯誤的在有的書中，認為4定理4可從最大公約數(shù)的定義直接推出，不需證明，這是錯誤的..Gauss在其名著Disquisitiones Arithmeticae（《算術探索》）（見參考書目［0］）的第13目中，就是證明5定理1和定理2，他用的就是5.2小節(jié)中的方法，先證定理1（用第一個直接證明），然后推出定理2.在結束證明后，他就極其鄭重指出了這種證明的必要性和重要性.他說：“這首先是因為，現(xiàn)在的許多作者要么是常常忽略了這定理（指5定理1），要么是給出了不能令人信服的論證；其次是因為，通過這個最簡單的情形能使我們更容易地理解這一證明方法的實質(zhì)，而這方法在以后要被用來解決更為困難得多的問題.”我們希望，讀者在學習初等數(shù)論時牢牢記住Gauss的這一教導，反復深入地體會其正確性，特別是，可以通過對附錄二的學習及做它的兩組習題，來領會這種證明的必要性.這對我們進一步學好數(shù)學是極其有益的.

5的定理1是證明了正整數(shù)中的素數(shù)的一個性質(zhì)，5定理2是證明了正整數(shù)表為素數(shù)的乘積的表法是唯一的（不計次序）.這兩個看來極為“明顯”的結論，為什么還要證明呢？而且給出了不同的證明，還作了深入的討論.這究竟有沒有必要呢？有興趣的讀者可參看附錄二.最后，我們要指出的是：由于我們直接證明了算術基本定理，進而也就得到5的推論3、推論4——關于除數(shù)、最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)的表示式，而在所有的論證中，除了4定理1之外，4的所有其他結論都用不到.相反的可以用5推論3、推論4來證明2定理10～定理12，及4定理1～定理7，而且論證更為直觀易懂.這些請讀者自己討論.事實上，可以從算術基本定理出發(fā)，來定義最大公約數(shù)，建立最大公約數(shù)理論（見習題六第1題（v））.此外，雖然我們證明了每個合數(shù)都可唯一分解為素數(shù)的乘積，但如何實現(xiàn)這種分解，特別是大數(shù)的分解，至今還沒有有效方法.