第二章 數學之趣

現在人們一提到“游戲”，首先想到的是電腦游戲。其實，游戲本身是文娛活動的一種，它分為智力游戲和活動性游戲，前者是發展智力的，后者是發展體力的。

數學游戲既是數學問題又是一種游戲，同時具備知識性、趣味性和娛樂性。我們首先來看下面一個小游戲。

茶杯謎題

有一種由來已久的酒吧賺錢的方法，需要三個茶杯和一個“傻瓜”（一個在酒吧喝得有點高，容易輕信他人的人）。

“行騙者”將三個茶杯（或玻璃杯）正放在吧臺上。

他將中間的那只茶杯倒過來，如下圖所示：

然后他解釋說，現在他只挪動3次就能把三個杯子都倒過來放，其中每次挪動恰好顛倒兩個杯子。它們不必相鄰，任何兩只都可以。（當然，一次挪動就可以完成這件事——把兩邊的杯子倒過來就可以，但規定使用三步就是這種誤導的一部分。）

這3次的挪動過程分別是：

“行騙者”開始戲弄那個“傻瓜”。他漫不經心地將中間的茶杯正過來，得到如下情形：

并請“傻瓜”重復這個游戲，小賭一把以增加趣味性。

奇怪的是，無論“傻瓜”怎么挪動，杯子都不聽話?！吧倒稀睕]有注意到，初始的位置已被“行騙者”偷偷地改變了。即使他注意到了這一改變，可能也沒意識到這一改變帶來的災難性后果。這組正放著的茶杯的奇偶性（奇/偶）已經從偶數變成了奇數。由于每次挪動恰好顛倒兩個杯子，所以每次挪動都保留這個奇偶性。初始正放著的茶杯為偶數的仍然是偶數，奇數的仍然是奇數。在第一次，起始位置的奇偶性是偶數，最終要求的位置也是如此；而在第二次，起始位置的奇偶數是奇數，這使得我們無法到達要求的最終位置——不僅挪動三次做不到，而且無論挪動多少次都做不到。

這個問題可以推廣，與酒吧的場景略微有些區別。由此產生的謎題用的是同樣的原理，但是更簡潔。假設從11個茶杯開始，全部倒放。規則是必須進行一系列挪動。每次挪動恰好顛倒4個杯子，它們不一定要相鄰。目標是讓這11個杯子都正放。你能做到嗎？如果能，完成這個任務最少需挪動多少次？